积测度

数学中，给出可测空间和其上的测度，可以获得积可测空间和其上的积测度。概念上近似于集合的笛卡儿积和两个拓扑空间的积拓扑。

设$(X_{1},\Sigma _{1})$和$(X_{2},\Sigma _{2})$是两个测度空间，就是说$\Sigma _{1}$和$\Sigma _{2}$分别是在$X_{1}$和$X_{2}$上的σ代数，又设$\mu _{1}$和$\mu _{2}$是其上的测度。以$\Sigma _{1}\times \Sigma _{2}$记形如$B_{1}\times B_{2}$的子集产生的笛卡儿积$X_{1}\times X_{2}$上的σ代数，其中$B_{1}\in \Sigma _{1}$及$B_{2}\in \Sigma _{2}$。

积测度$\mu _{1}\times \mu _{2}$定义为在可测空间$(X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\times \Sigma _{2})$上唯一的测度，适合

$(\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})$

对所有

$B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}$。

事实上对所有可测集E，

$(\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E_{y})\,\mu _{2}(dy)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,\mu _{1}(dx)$，

其中$E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}$，$E_{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}$，两个都是可测集。

这测度的存在性和唯一性是得自哈恩-柯尔莫哥洛夫定理.

欧几里得空间Rⁿ上的博雷尔测度可得自n个实数轴R上的博雷尔测度的积。

参考文献

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