相等
在数学的领域中,若两个数学对象在各个方面都相同,则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于,写作“”;当且仅当和相等。通常意义上,等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来,就构成了等式,例如,即与是相等的。
注意,有些时候“”并不表示等式。例如,表示在数量级上渐进。因为这里的符号“”不满足若且唯若的定义,所以它不等于等于符号;实际上,是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。
![等价二元关系的表格](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fd/Equality.svg/261px-Equality.svg.png)
集合上的等于关系是种二元关系,满足自反性,对称性,反对称性和传递性。 实际上,这是 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求,就是等价关系。 相应的,给定任意等价关系,可以构造商集,并且这个等价关系将‘下降为’上的等于。
逻辑形式
编辑谓词逻辑含有标准的关于相等的公理来形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。 莱布尼茨的想法是,两样物体是同一的,当且仅当它们有完全相同的性质。 形式化这一说法,可以写成
然而,在一阶逻辑中,不能对谓词进行量化。因此,需要使用下述公理:
- 对任意 和 ,若 等于 ,则 当且仅当 。
这条公理对任意单变量的谓词 都有效,但只定义了莱布尼茨律的一个方向:若 和 相等,则它们具有相同的性质。 可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向:
- 对任意 , 等于 。
则若 和 具有相同的性质,则特定的它们关于谓词 是相同的。这里谓词 为: 当且仅当 。 由于 成立, 必定也成立(相同的性质),所以 (' ' 的变量为 ).
等于的一些基本性质
编辑替代性
编辑对任意量 和 和任意表达式 ,若 ,则 (设等式两边都有意义)。 在一阶逻辑中,不能量化像 这样的表达式(它可能是个函数谓词)。 一些例子:
- 对任意实数 ,若 ,则 (这里 为 )
- 对任意实数 ,若 ,则 (这里 为 )
- 对任意实数 ,若 ,则 (这里 为 )
- 对任意实数 ,若 且 ,则 (这里 为 )
自反性
编辑对任意量 , 。
这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。
对称性
编辑例子:如果 ,那么
传递性
编辑例子:如果 , ,那么
实数或其他对象上的二元关系“约等于”,即使进行精确定义,也不具有传递性(即使看上去有,但许多小的差能够叠加成非常大)。然而,在绝大多数情况下,等于具有传递性。
尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质,但它们能够通过替代性和自反性证明得到。
符号的历史
编辑“等于”符号或 “ ”被用来表示一些算术运算的结果,是由罗伯特·雷科德在1557年发明的。
由于觉得书写文字过于麻烦,雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长,表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。