自协调函数

在优化理论中，自协调函数（英语：Self-concordant function）是一个函数$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$其中

$|f'''(x)|\leq 2f''(x)^{3/2}$

或者，等价地，一个函数$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$无论何处$f''(x)>0$满足

$\left|{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\sqrt {f''(x)}}}\right|\leq 1$

并且满足$f'''(x)=0$在其他地方。

更一般地，多元函数$f(x):\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$是自协调的，如果

$\left.{\frac {d}{d\alpha }}\nabla ^{2}f(x+\alpha y)\right|_{\alpha =0}\preceq 2{\sqrt {y^{T}\nabla ^{2}f(x)\,y}}\,\nabla ^{2}f(x)$

或者，等效地，如果它对任意行的限制是协调的。

性质

• 线性结合

若$f_{1}$和$f_{2}$是自协调函数，有常数$M_{1}$和$M_{2}$，且$\alpha ,\beta >0$，则$\alpha f_{1}+\beta f_{2}$是自协调函数，且有常数$\max(\alpha ^{-1/2}M_{1},\beta ^{-1/2}M_{2})$.

• 仿射变换

若$f$是自协调函数，有常数$M$，且$Ax+b$是$\mathbb {R} ^{n}$的仿射变换，则$\phi (x)=f(Ax+b)$是带有系数$M$的自协调函数

• 凸共轭

若$f$是自协调函数，则它的凸共轭$f^{*}$也是自协调函数

• 非奇异黑森矩阵

如果$f$是自协调的，且域为$f$不包含直线（两个方向无穷大），那么$f''$是非奇异的。

反之，如果对于某些$x$在域$f$中，且$u\in \mathbb {R} ^{n},u\neq 0$，则有$\langle f''(x)u,u\rangle =0$，则$\langle f''(x+\alpha u)u,u\rangle =0$对于所有$\alpha$，此处$x+\alpha u$在$f$的域中。则$f(x+\alpha u)$是线性的并且不能有最大值，所以所有$x+\alpha u,\alpha \in \mathbb {R}$在$f$的域中。我们还注意到$f$其域内不能有最小值。