自協調函數

在優化理論中，自協調函數（英語：Self-concordant function）是一個函數$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$其中

$|f'''(x)|\leq 2f''(x)^{3/2}$

或者，等價地，一個函數$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$無論何處$f''(x)>0$滿足

$\left|{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\sqrt {f''(x)}}}\right|\leq 1$

並且滿足$f'''(x)=0$在其他地方。

更一般地，多元函數$f(x):\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$是自協調的，如果

$\left.{\frac {d}{d\alpha }}\nabla ^{2}f(x+\alpha y)\right|_{\alpha =0}\preceq 2{\sqrt {y^{T}\nabla ^{2}f(x)\,y}}\,\nabla ^{2}f(x)$

或者，等效地，如果它對任意行的限制是協調的。

性質

• 線性結合

若$f_{1}$和$f_{2}$是自協調函數，有常數$M_{1}$和$M_{2}$，且$\alpha ,\beta >0$，則$\alpha f_{1}+\beta f_{2}$是自協調函數，且有常數$\max(\alpha ^{-1/2}M_{1},\beta ^{-1/2}M_{2})$.

• 仿射變換

若$f$是自協調函數，有常數$M$，且$Ax+b$是$\mathbb {R} ^{n}$的仿射變換，則$\phi (x)=f(Ax+b)$是帶有係數$M$的自協調函數

• 凸共軛

若$f$是自協調函數，則它的凸共軛$f^{*}$也是自協調函數

• 非奇異黑森矩陣

如果$f$是自協調的，且域為$f$不包含直線（兩個方向無窮大），那麼$f''$是非奇異的。

反之，如果對於某些$x$在域$f$中，且$u\in \mathbb {R} ^{n},u\neq 0$，則有$\langle f''(x)u,u\rangle =0$，則$\langle f''(x+\alpha u)u,u\rangle =0$對於所有$\alpha$，此處$x+\alpha u$在$f$的域中。則$f(x+\alpha u)$是線性的並且不能有最大值，所以所有$x+\alpha u,\alpha \in \mathbb {R}$在$f$的域中。我們還注意到$f$其域內不能有最小值。