优化理论中,自協調函数(英語:Self-concordant function)是一个函数其中

或者,等价地,一个函数无论何处满足

并且满足其他地方。

更一般地,多元函数是自協調的,如果

或者,等效地,如果它对任意行的限制是協調的[1]

性質

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  • 線性結合

  是自協調函數,有常數  ,且 ,則 是自協調函數,且有常數 .

  • 仿射變換

 是自協調函數,有常數 ,且  的仿射變換,则 是带有系数 的自協調函數

  • 凸共轭

 是自協調函數,则它的凸共轭 也是自協調函數[2][3]

如果 是自协调的,且域为 不包含直线(两个方向无穷大),那么 是非奇异的。

反之,如果对于某些 在域 中,且 ,则有 ,则 对于所有 ,此处  的域中。则 是线性的并且不能有最大值,所以所有  的域中。我们还注意到 其域内不能有最小值。

参考资料

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  1. ^ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven. Convex Optimization (PDF). Cambridge University Press. 2004 [October 15, 2011]. ISBN 978-0-521-83378-3. (原始内容存档 (PDF)于2021-05-09). 
  2. ^ Nesterov, Yurii; Nemirovskii, Arkadii. nterior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming. Studies in Applied and Numerical Mathematics. 1994. ISBN 978-0-89871-319-0. doi:10.1137/1.9781611970791. 
  3. ^ Sun, Tianxiao; Tran-Dinh, Quoc. Generalized Self-Concordant Functions: A Recipe for Newton-Type Methods. Mathematical Programming. 2018: Proposition 6. arXiv:1703.04599 .