自旋网络

量子力学中，自旋网络是一种图表，用以表示粒子与量子场之间的的相互作用与状态。以数学的出发点来看，这些图案是一种简明方法，可代表多线性函数以及矩阵群众多表示之间的关联函数。此图案记号往往能简化计算，以其能代表复杂的函数。自旋网络的发明一般是归因于罗杰·彭罗斯于1971年的贡献，然而在此之前已有类似的图样方法。

循环量子引力理论中简单的自旋网络范例

透过卡洛·罗威利, 李·斯莫林、霍尔黑·普林, 罗多佛·甘比尼等多位研究者的努力，自旋网络被用于量子引力理论。自旋网络亦可被用在数学中局域规范变换不变性的连通空间，用以建构特定的泛函。

彭罗斯原始定义

1971年，罗杰·彭罗斯提出一种图形表示法，其中每个线段代表一个“单元”（基本粒子或粒子的复合系统）之世界线。三条线段汇聚在一个顶点。顶点可以诠释为一个事件；在此事件中，一个单元分裂成两个单元，或两个单元碰撞合而为一。当一图表中所有的线段都在顶点会合，则此图为“封闭自旋网络”。时间以单一方向行进，比如从图的底部走到图的顶部。然而在封闭自旋网络的例子，时间行进的方向对于计算不构成影响。

每一线段标上一个称作自旋量子数的整数。带有自旋数n的一个单元称作n-单元，其角动量为nħ，ħ是约化普朗克常数。光子、胶子等玻色子，其n为偶数；电子、夸克等费米子，其n为奇数。

给定一封闭自旋网络，则可计算出一个相应的非负整数的范数（norm）。范数可用来计算不同自旋值的概率。当一个自旋网络的范数是零，则其发生概率为零。当范数不为零时，在顶点处则有一些约束条件如下：

若有三个单元会合在一顶点，这三单元分别带有自旋量子数a、b、c，则必须满足

• 三角不等式：a必须小于或等于b + c，b必须小于或等于a + c，以及c必须小于或等于a + b。
• 费米子守恒（Fermion conservation）：a + b + c必须是偶数。

举例来说，a = 3, b = 4, c = 6的例子是不可能，因为3 + 4 + 6 = 13是奇数。a = 3, b = 4, c = 9也不可能，因为3 + 4 < 9。而a = 3, b = 4, c = 5则可行，因为3 + 4 + 5 = 12是偶数且满足三角不等式。

一些标记习惯会将整数标为半整数，约束条件则变成a + b + c的和要是整数。

参考文献

Early papers:

• Sum of Wigner coefficients and their graphical representation, I. B. Levinson, ``Proceed. Phys-Tech Inst. Acad Sci. Lithuanian SSR 2, 17-30 (1956)
• Applications of negative dimensional tensors, Roger Penrose, in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971)
• Hamiltonian formulation of Wilson's lattice gauge theories, John Kogut and Leonard Susskind, Phys. Rev. D 11, 395–408 (1975)
• The lattice gauge theory approach to quantum chromodynamics, John B. Kogut, Rev. Mod. Phys. 55, 775–836 (1983) (see the Euclidean high temperature (strong coupling) section)
• Duality in field theory and statistical systems, Robert Savit, Rev. Mod. Phys. 52, 453–487 (1980) (see the sections on Abelian gauge theories)

Modern papers:

• Spin Networks and Quantum Gravity, Carlo Rovelli and Lee Smolin, Physical Review D 53, 5743 (1995); gr-qc/9505006.
• The dual of non-Abelian lattice gauge theory, Hendryk Pfeiffer and Robert Oeckl, hep-lat/0110034.
• Exact duality transformations for sigma models and gauge theories, Hendryk Pfeiffer, hep-lat/0205013.
• Generalized Lattice Gauge Theory, Spin Foams and State Sum Invariants, Robert Oeckl, hep-th/0110259.
• Spin Networks in Gauge Theory, John C. Baez, Advances in Mathematics, Volume 117, Number 2, February 1996, pp. 253–272.
• Quantum Field Theory of Many-body Systems – from the Origin of Sound to an Origin of Light and Fermions, Xiao-Gang Wen, [1]. (Dubbed string-nets here.)
• A Spin Network Primer, Seth A. Major, American Journal of Physics, Volume 67, 1999, gr-qc/9905020.
• Pre-geometry and Spin Networks. An introduction. [2].

Books:

• Diagram Techniques in Group Theory, G. E. Stedman, Cambridge University Press, 1990
• Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups, Predrag Cvitanović, Princeton University Press, 2008, http://birdtracks.eu/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

• （英文）约翰·贝兹于加州大学河滨分校数学系网页—Penrose on Spin Networks （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文）Seth A. Major—A Spin Network Primer （页面存档备份，存于互联网档案馆）