自旋網路

量子力學中，自旋網路是一種圖表，用以表示粒子與量子場之間的的交互作用與狀態。以數學的出發點來看，這些圖案是一種簡明方法，可代表多線性函數以及矩陣群眾多表示之間的關聯函數。此圖案記號往往能簡化計算，以其能代表複雜的函數。自旋網路的發明一般是歸因於羅傑·潘洛斯於1971年的貢獻，^[1]然而在此之前已有類似的圖樣方法。

透過卡洛·羅威利, 李·斯莫林、霍爾黑·普林（英語：Jorge Pullin）, 羅多佛·甘比尼（英語：Rodolfo Gambini）等多位研究者的努力，自旋網路被用於量子重力理論。自旋網路亦可被用在數學中局域規範轉換不變性的連通空間，用以建構特定的泛函。

潘洛斯原始定義

1971年，羅傑·潘洛斯提出一種圖形表示法，其中每個線段代表一個「單元」（基本粒子或粒子的複合系統）之世界線。三條線段匯聚在一個頂點。頂點可以詮釋為一個事件；在此事件中，一個單元分裂成兩個單元，或兩個單元碰撞合而為一。當一圖表中所有的線段都在頂點會合，則此圖為「封閉自旋網路」。時間以單一方向行進，比如從圖的底部走到圖的頂部。然而在封閉自旋網路的例子，時間行進的方向對於計算不構成影響。

每一線段標上一個稱作自旋量子數的整數。帶有自旋數n的一個單元稱作n-單元，其角動量為nħ，ħ是約化普朗克常數。光子、膠子等玻色子，其n為偶數；電子、夸克等費米子，其n為奇數。

給定一封閉自旋網路，則可計算出一個相應的非負整數的範數（norm）。範數可用來計算不同自旋值的機率。當一個自旋網路的範數是零，則其發生機率為零。當範數不為零時，在頂點處則有一些約束條件如下：

若有三個單元會合在一頂點，這三單元分別帶有自旋量子數a、b、c，則必須滿足

三角不等式：a必須小於或等於b + c，b必須小於或等於a + c，以及c必須小於或等於a + b。
費米子守恆（Fermion conservation）：a + b + c必須是偶數。

舉例來說，a = 3, b = 4, c = 6的例子是不可能，因為3 + 4 + 6 = 13是奇數。a = 3, b = 4, c = 9也不可能，因為3 + 4 < 9。而a = 3, b = 4, c = 5則可行，因為3 + 4 + 5 = 12是偶數且滿足三角不等式。

一些標記習慣會將整數標為半整數，約束條件則變成a + b + c的和要是整數。

參考資料

^ 羅傑·潘洛斯—ANGULAR MOMENTUM: AN APPROACH TO COMBINATORIAL SPACE-TIME （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

參考文獻

Early papers:

Sum of Wigner coefficients and their graphical representation, I. B. Levinson, ``Proceed. Phys-Tech Inst. Acad Sci. Lithuanian SSR 2, 17-30 (1956)
Applications of negative dimensional tensors, Roger Penrose, in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971)
Hamiltonian formulation of Wilson's lattice gauge theories, John Kogut（英語：John Kogut） and Leonard Susskind, Phys. Rev. D 11, 395–408 (1975)
The lattice gauge theory approach to quantum chromodynamics, John B. Kogut（英語：John Kogut）, Rev. Mod. Phys. 55, 775–836 (1983) (see the Euclidean high temperature (strong coupling) section)
Duality in field theory and statistical systems, Robert Savit, Rev. Mod. Phys. 52, 453–487 (1980) (see the sections on Abelian gauge theories)

Modern papers:

Spin Networks and Quantum Gravity, Carlo Rovelli and Lee Smolin, Physical Review D 53, 5743 (1995); gr-qc/9505006.
The dual of non-Abelian lattice gauge theory, Hendryk Pfeiffer and Robert Oeckl, hep-lat/0110034.
Exact duality transformations for sigma models and gauge theories, Hendryk Pfeiffer, hep-lat/0205013.
Generalized Lattice Gauge Theory, Spin Foams and State Sum Invariants, Robert Oeckl, hep-th/0110259.
Spin Networks in Gauge Theory, John C. Baez, Advances in Mathematics, Volume 117, Number 2, February 1996, pp. 253–272.
Quantum Field Theory of Many-body Systems – from the Origin of Sound to an Origin of Light and Fermions, Xiao-Gang Wen, [1]. (Dubbed string-nets here.)
A Spin Network Primer, Seth A. Major, American Journal of Physics, Volume 67, 1999, gr-qc/9905020.
Pre-geometry and Spin Networks. An introduction. [2].

Books:

Diagram Techniques in Group Theory, G. E. Stedman, Cambridge University Press, 1990
Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups, Predrag Cvitanović（英語：Predrag Cvitanović）, Princeton University Press, 2008, http://birdtracks.eu/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

外部連結

（英文）約翰·貝茲於加州大學河濱分校數學系網頁—Penrose on Spin Networks （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
（英文）Seth A. Major—A Spin Network Primer （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[1] 羅傑·潘洛斯—ANGULAR MOMENTUM: AN APPROACH TO COMBINATORIAL SPACE-TIME （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[1]