量子力学中,自旋网络是一种图表,用以表示粒子量子场之间的的相互作用与状态。以数学的出发点来看,这些图案是一种简明方法,可代表多线性函数以及矩阵群众多表示之间的关联函数。此图案记号往往能简化计算,以其能代表复杂的函数。自旋网络的发明一般是归因于罗杰·彭罗斯于1971年的贡献,[1]然而在此之前已有类似的图样方法。

循环量子引力理论中简单的自旋网络范例

透过卡洛·罗威利, 李·斯莫林霍尔黑·普林英语Jorge Pullin, 罗多佛·甘比尼英语Rodolfo Gambini等多位研究者的努力,自旋网络被用于量子引力理论。自旋网络亦可被用在数学中局域规范变换不变性的连通空间,用以建构特定的泛函

彭罗斯原始定义

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1971年,罗杰·彭罗斯提出一种图形表示法,其中每个线段代表一个“单元”(基本粒子或粒子的复合系统)之世界线。三条线段汇聚在一个顶点。顶点可以诠释为一个事件;在此事件中,一个单元分裂成两个单元,或两个单元碰撞合而为一。当一图表中所有的线段都在顶点会合,则此图为“封闭自旋网络”。时间以单一方向行进,比如从图的底部走到图的顶部。然而在封闭自旋网络的例子,时间行进的方向对于计算不构成影响。

每一线段标上一个称作自旋量子数整数。带有自旋数n的一个单元称作n-单元,其角动量ħ是约化普朗克常数光子胶子玻色子,其n为偶数;电子夸克费米子,其n为奇数。

给定一封闭自旋网络,则可计算出一个相应的非负整数的范数(norm)。范数可用来计算不同自旋值的概率。当一个自旋网络的范数是零,则其发生概率为零。当范数不为零时,在顶点处则有一些约束条件如下:

若有三个单元会合在一顶点,这三单元分别带有自旋量子数abc,则必须满足

  • 三角不等式a必须小于或等于b + cb必须小于或等于a + c,以及c必须小于或等于a + b
  • 费米子守恒(Fermion conservation):a + b + c必须是偶数。

举例来说,a = 3, b = 4, c = 6的例子是不可能,因为3 + 4 + 6 = 13是奇数。a = 3, b = 4, c = 9也不可能,因为3 + 4 < 9。而a = 3, b = 4, c = 5则可行,因为3 + 4 + 5 = 12是偶数且满足三角不等式。

一些标记习惯会将整数标为半整数,约束条件则变成a + b + c的和要是整数。

参考资料

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参考文献

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Early papers:

  • Sum of Wigner coefficients and their graphical representation, I. B. Levinson, ``Proceed. Phys-Tech Inst. Acad Sci. Lithuanian SSR 2, 17-30 (1956)
  • Applications of negative dimensional tensors, Roger Penrose, in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971)
  • Hamiltonian formulation of Wilson's lattice gauge theories, John Kogut英语John Kogut and Leonard Susskind, Phys. Rev. D 11, 395–408 (1975)
  • The lattice gauge theory approach to quantum chromodynamics, John B. Kogut英语John Kogut, Rev. Mod. Phys. 55, 775–836 (1983) (see the Euclidean high temperature (strong coupling) section)
  • Duality in field theory and statistical systems, Robert Savit, Rev. Mod. Phys. 52, 453–487 (1980) (see the sections on Abelian gauge theories)

Modern papers:

  • Spin Networks and Quantum Gravity, Carlo Rovelli and Lee Smolin, Physical Review D 53, 5743 (1995); gr-qc/9505006.
  • The dual of non-Abelian lattice gauge theory, Hendryk Pfeiffer and Robert Oeckl, hep-lat/0110034.
  • Exact duality transformations for sigma models and gauge theories, Hendryk Pfeiffer, hep-lat/0205013.
  • Generalized Lattice Gauge Theory, Spin Foams and State Sum Invariants, Robert Oeckl, hep-th/0110259.
  • Spin Networks in Gauge Theory, John C. Baez, Advances in Mathematics, Volume 117, Number 2, February 1996, pp. 253–272.
  • Quantum Field Theory of Many-body Systems – from the Origin of Sound to an Origin of Light and Fermions, Xiao-Gang Wen, [1]. (Dubbed string-nets here.)
  • A Spin Network Primer, Seth A. Major, American Journal of Physics, Volume 67, 1999, gr-qc/9905020.
  • Pre-geometry and Spin Networks. An introduction. [2].

Books:

外部链接

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