角平分线长公式

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平面几何中,角平分线长公式是计算三角形内、外角平分线长度的公式。在三角形 中, 的内角平分线交对边 于点 ,外角平分线交直线 于点 ,则三角形的内、外角平分线的长度为:

三角形的内、外角平分线

若记 边长为 边长为 边长为 ,记内角平分线 长为 ,外角平分线 长为 ,则三角形的内、外角平分线的长度可以表示为:

证明

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三角形ABC以及关于角A的平分线

内角平分线长

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的内角平分线交对边 于点 。延长 至点 ,使

得内角平分线长公式(i):[1][2][3]

外角平分线长

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的外角平分线交直线 于点 。延长 至点 ,使

得外角平分线长公式(i):[2]

推导

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根据角平分线定理,有:[4]

代入式(i),得到角平分线长公式(ii):[5][3]

余弦公式代入式(ii),得到角平分线长公式(iii):

半角公式代入式(iii),得到角平分线长公式(iv):[6]

与其他定理的关系

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斯图尔特定理

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角平分线长公式是斯图尔特定理的特殊情况,或者说推论。根据斯图尔特定理,对于三角形 的任意一边 上的任意一点 ,有:

当点 是内角平分线足时,根据角平分线定理,有:

联立之后,即可得到内角平分线长公式(i)或(ii)。同理,可以推出外角平分线长公式(i)或(ii)。[5][2]

施泰纳-莱穆斯定理

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利用角平分线长公式,可以证明施泰纳-莱穆斯定理——有两条内角平分线长度相等的三角形是等腰三角形[7]

化简后得到:

连乘的其他各项都为正数,从而推出:

名称

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在欧美,角平分线长公式没有特殊的名称。[5][2][7]在中国大陆,内角平分线长公式(i)被称为“斯库顿定理”,归功于荷兰数学家弗兰斯·范斯霍滕英语Frans van Schooten[1][8][9]而在欧美,范斯霍滕定理英语Van Schooten's theorem指的是等边三角形外接圆的一个性质,与三角形角平分线无关。[10]

参见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 孙建斌. Schooten定理的证明. 数学教学研究. 1986, (1): 3-6. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 别列标尔金俄语Перепёлкин, Дмитрий Иванович. 初等几何学教程 上卷. 马忠林 (译). 北京: 高等教育出版社. 1955: 202-204. 
  3. ^ 3.0 3.1 Amarasinghe, G. W. I. S. On the standard lengths of angle bisectors and the angle bisector theorem (PDF). Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries. 2012, 1 (1): 15-27 [2023-06-24]. (原始内容存档 (PDF)于2022-06-18) (英语). 
  4. ^ Heath, Thomas L. The Thirteen Books of Euclid's Elements (PDF) II. Cambridge: Cambridge University Press. 1908: 197 [2023-06-24]. (原始内容存档 (PDF)于2022-02-02) (英语). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Hadamard, Jacques. Leçons de géométrie élémentaire (géométrie plane). Paris: Armand Colin et Cie. 1898: 122-125 (法语). 
  6. ^ The angle bisector. Formula 2. mathvox.com. [2023-06-24]. (原始内容存档于2023-06-17) (英语). 
  7. ^ 7.0 7.1 Trigg, Charles W. Mathematical Quickies. New York: Dover Publications. 1985: 103 [1967]. ISBN 0-486-24949-2 (英语). 
  8. ^ 刘运谊. 斯库顿定理及其应用. 数学教学通讯. 1994, (6): 12+39. 
  9. ^ 黄家礼. 几何明珠. 北京: 科学普及出版社. 1997: 78. ISBN 7-110-03511-5. 
  10. ^ Raymond, Viglione. Proof Without Words: van Schooten's Theorem. Mathematics Magazine. 2016, 89 (2): 132 (英语).