平分線

角平分線（英語：Angle Bisector）是幾何學中的一個基本概念。它指的是從角的頂點出發，將角分成兩個相等角的線段或射線。角平分線在幾何問題中起着重要作用，無論是在理論證明中，還是在實際應用中，都能幫助我們理解和解決各種幾何問題。

角平分線的定義

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線。

角平分線的性質

1.角平分線把角分成兩個一樣角度的小角，都等於該角的一半

該性質的應用

$\because \ OM{\text{ 平分 }}\angle AOB$

$\therefore \ \angle AOM=\angle MOB$

2..角平分線上的任意一點，到角兩邊的距離相等。

即如圖所示：

$OM$平分${\angle }AOB,P$為$OM$上一點$,PE{\perp }OA$於$E,PF{\perp }OB$於$F,$

則$PE=PF$。

該性質的證明

利用三角形全等，可以很容易推得此結論。

下面作一下簡單推導。

${\because \quad }OM$平分${\angle }AOB,$

${\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF.$

${\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,$

${\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.$

在${\triangle }OEP$與${\triangle }OFP$中$,$

${\begin{cases}{\angle }OEP={\angle }OFP,\\{\angle }POE={\angle }POF,\\OP=OP,\end{cases}}$

${\therefore \quad \triangle }OEP{\;\cong \triangle }OFP({\mbox{AAS}}).$

${\therefore \quad }PE=PF.$

證畢。

角平分線的判定

判定

與其性質相對應的，就是角平分線的判定：

若有一點至角兩邊距離相等，則該點在該角的角平分線上。

即：

已知${\angle }AOB,P$為$OM$上一點$,\;PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB.$

如果$PE=PF,$那麼$OM$平分${\angle }AOB.$

證明

${\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,$

${\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.$

在$\mathrm {Rt} {\triangle }OEP$與$\mathrm {Rt} {\triangle }OFP$中$,$

${\begin{cases}OP=OP,\\PE=PF,\end{cases}}$

${\therefore \quad }\mathrm {Rt} {\triangle }OEP\;{\cong }\mathrm {Rt} {\triangle }OFP(\mathrm {HL} ).$

${\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF,$

${\therefore \quad }OM$平分${\angle }AOB.$

證畢。

內心

任意三角形ABC中，${\angle }ABC$、${\angle }BCA$、${\angle }CAB$ 角平分線交於一點I，則我們稱此點I為三角形ABC的內心。

三角形的內心恆在圖形內部，且到三角形之三邊距離等長。

參見

• 角平分線長公式
• 垂直平分線
• 中線
• 高線