Β分布,亦称贝它分布、Beta 分布(Beta distribution),在概率论中,是指一组定义在
区间的连续概率分布,有两个母数
。
Β分布
概率密度函数 ![Probability density function for the Beta distribution](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Beta_distribution_pdf.svg/325px-Beta_distribution_pdf.svg.png) |
累积分布函数 ![Cumulative distribution function for the Beta distribution](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Beta_distribution_cdf.svg/325px-Beta_distribution_cdf.svg.png) |
参数 |
![{\displaystyle \beta >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a87dc52878418173659e6d0ff8e77ab2897eac9) |
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值域 |
![{\displaystyle x\in (0;1)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d0ef7a9136c64d36b1b8e2bcee82c3f8ad7d5f) |
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概率密度函数 |
![{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125fdaa41844a8703d1a8610ac00fbf3edacc8e7) |
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累积分布函数 |
![{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630767808887e1bd81c51a75934e8a196907bb93) |
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期望 |
![{\displaystyle \operatorname {E} [x]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0569ee58528ca526f9cdab57675a2d0d73bf4766)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\ln x]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a2d06fc2308f395e3dbaed6bb7d0b975d38eb1) (见双伽玛函数) |
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中位数 |
无解析表达 |
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众数 |
for ![{\displaystyle \alpha >1,\beta >1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f1e017514157062ecc289c4042d17d99a1b77f) |
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方差 |
![{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f3678db794b6d247e588b602bf565763dcb462) |
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偏度 |
![{\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ec71817c032c8eb21b5feadd0ec9b91c747530) |
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峰度 |
见文字 |
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熵 |
见文字 |
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矩生成函数 |
![{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97b0e33f3134c2fc5c484016ab8e03e18d85481) |
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特征函数 |
(见合流超几何函数) |
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Β分布的概率密度函数是:
-
其中 是Γ函数。如果 为正整数,则有:
-
随机变量X服从参数为 的Β分布通常写作
-
Β分布的累积分布函数是:
-
其中 是不完全Β函数, 是正则不完全贝塔函数。
参数为 Β分布的众数是:
- [1]
期望和方差分别是:
-
-
偏度是:
-
峰度是:
-
或:
-
阶矩是:
-
其中 表示递进阶乘幂。 阶矩还可以递归地表示为:
-
另外,
-
给定两个Β分布随机变量, X ~ Beta(α, β) and Y ~ Beta(α', β'), X的微分熵为:[2]
-
其中 表示双伽玛函数。
联合熵为:
-
其KL散度为:
-
- ^ Johnson, Norman L., Samuel Kotz, and N. Balakrishnan (1995). "Continuous Univariate Distributions, Vol. 2", Wiley, ISBN 978-0-471-58494-0.
- ^ A. C. G. Verdugo Lazo and P. N. Rathie. "On the entropy of continuous probability distributions," IEEE Trans. Inf. Theory, IT-24:120–122,1978.