费马大定理

关于以皮埃尔·德·费马命名的其他定理，请见“费马定理”。

费马大定理（亦名费马最后定理，法语：Le dernier théorème de Fermat，英语：Fermat's Last Theorem），其概要为：

当整数$n>2$时，关于$x$, $y$, $z$的不定方程

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

无正整数解。

以上陈述由17世纪法国数学家费马提出，被称为“费马猜想”，直到英国数学家安德鲁·怀尔斯及其学生理查·泰勒于1995年将他们的证明出版后，才称为“费马最后定理”。这个猜想最初出现费马的《页边笔记》中。尽管费马表明他已找到一个精妙的证明而页边没有足够的空位写下，但仍然经过数学家们三个多世纪的努力，猜想才变成定理。在冲击这个数论世纪难题的过程中，无论是不完全的还是最后完整的证明，都给数学界带来很大的影响；很多的数学结果、甚至数学分支在这个过程中诞生，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗瓦理论和赫克代数等。这也令人怀疑当初费马是否真的找到正确证明。而安德鲁·怀尔斯由于成功证明此定理，获得包括邵逸夫奖在内的数十个奖项。

历史

丢番图拉丁文译本第11卷第8命题

1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：

“ 将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信我发现一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。 ”

毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富数论的内容，推动数论的发展。

欧拉在1770年的时候，证明$n=3$时定理成立。

1825年，高斯和热尔曼同时独立证明费马定理5次幂。

费马大定理提出之后的二百年内，对很多不同的特定的$n$，费马大定理被证明。但对于一般情况，人们仍一筹莫展。

1908年，德国人“保罗·弗里德里希·沃尔夫斯凯尔”宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该奖金的吸引力也大幅下降。

1983年，格尔德·法尔廷斯证明莫德尔猜想。作为推论，对于给定的整数$n>2$，至多存在有限组互素的$a,b,c$使得$a^{n}+b^{n}=c^{n}$。

1986年，格哈德·弗赖（Gerhard Frey）提出“ε-猜想”：若存在$a,b,c$使得$a^{n}+b^{n}=c^{n}$，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线

$y^{2}=x\left(x-a^{n}\right)\left(x+b^{n}\right)$

会是谷山-志村猜想的一个反例。格哈德·弗赖的猜想随即被肯尼斯·阿兰·黎贝证实。此猜想显示费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。

1995年，安德鲁·怀尔斯和理查·泰勒在一特例范围内证明谷山志村猜想，弗赖的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明费马大定理。

怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用七年时间，在不为人知的情况下，得出证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审查证明的过程中，专家发现一个极为严重的错误。怀尔斯和泰勒之后用近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部分的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的《数学年刊》（Annals of Mathematics）之上。

在怀尔斯证明之前，沃尔夫斯凯尔委员会（Wolfskehl committee）收到数千个不正确的证明，所有纸张叠加达到约10英尺（3米）的高度。仅在第一年（1907—1908年）就提出621个证明，但到了20世纪70年代，各家证明方法的提出已经降至每个月大约3-4个。根据沃尔夫斯凯尔委员会评论家施里希廷（F. Schlichting）的说法，大多数证明都是基于学校教授的基本方法，并且提交证明的人大多“有技术教育但职业生涯失败”。用数学历史学家霍华德·伊夫斯的话来说，“费马大定理在数学里有一个特殊的现象，即在于它是错误证明数量最多的数学题。”

参见

• 索菲热尔曼素数
• 维费里希素数
• 沃尔-孙-孙素数
• 沃尔斯滕霍尔姆素数
• 数学猜想列表
• 费马-卡塔兰猜想

参考资料

书籍

• Singh, Simon. Fermat's enigma : the quest to solve the world's greatest mathematical problem. New York: Walker. 1997. ISBN 0-8027-1331-9. 
• Aczel, Amir. Fermat's last theorem : unlocking the secret of an ancient mathematical problem. New York: Four Walls Eight Windows. 1996. ISBN 978-1-56858-077-7. 

论文

• Andrew Wiles. Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem (PDF). Annals of Mathematics 141. 1995: 443–551. （原始内容 (PDF)存档于2011-05-10）. 
• R.Taylor; A.Wiles. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras. Annals of Mathematics 141. 1995: 553–572. （原始内容存档于2004-12-04）. 
• Gerd Faltings. The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles (PDF). Notices of the AMS. 1995-07. （原始内容存档 (PDF)于2019-09-12）. 
• Charles Daney. The Mathematics of Fermat's Last Theorem. （原始内容存档于2004-08-03）. 
• J J O'Connor; E F Robertson. Fermat's last theorem. （原始内容存档于2001-08-04）.  The history of the problem.
• David Shay. Fermat's last theorem. （原始内容存档于2007-02-02）.  The story and the history of the problem.