推迟势

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用

\mathbf {r} \,\!

表示；而其大小则用

r\,\!

来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“

'\,\!

”；源变数的标记的后面有单撇号“

'\,\!

”。

在电磁学里，推迟势指的是，响应含时电荷分布或含时电流分布，而产生的推迟标势或推迟矢势。对于这程序，由于“前因”与“后果”之间必然的推迟关系，讯号以光速从源位置传播到场位置，需要有限时间。在某源位置的电流或电荷分布，必须经过一段时间之后，才能够将其影响传播到场位置，产生对应的电磁作用。这一段时间的长久跟源位置与场位置之间距离的远近有关。

理论概念

给予在源位置

\mathbf {r} '

的含时电荷分布或含时电流分布，计算在场位置

\mathbf {r}

产生的推迟势。

对于静态的电荷分布和电流分布，电势 $\Phi (\mathbf {r} )$ 和磁矢势 $\mathbf {A} (\mathbf {r} )$ 分别定义为

\Phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

；

其中， $\mathbf {r}$ 是场位置， $\mathbf {r} '$ 是源位置， $\epsilon _{0}$ 是真空电容率， $\mu _{0}$ 是真空磁导率， $\rho$ 是电荷密度， $\mathbf {J}$ 是电流密度， $\mathbb {V} '$ 是体积分的空间， $d^{3}\mathbf {r} '$ 是微小体元素。

在电动力学里，这两个方程必须加以延伸，才能正确地响应含时电流分布或含时电荷分布。定义推迟时间 $t_{r}$ 为检验时间 $t$ 减去电磁波传播的时间：

t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

；

其中， $c$ 是光速。

假设，从源位置 $\mathbf {r} '$ 往场位置 $\mathbf {r}$ 发射出一束电磁波，而这束电磁波在检验时间 $t$ 抵达观测者的场位置 $\mathbf {r}$ ，则这束电磁波发射的时间是推迟时间 $t_{r}$ 。由于电磁波传播于真空的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间 $t$ ，会不同于这电磁波发射的推迟时间 $t_{r}$ 。

推迟标势 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 与推迟矢势 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 分别用方程定义为

\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

。

请注意，在这两个含时方程内，源电荷密度和源电流密度都跟推迟时间 $t_{r}$ 有关，而不是与时间无关。

这两个含时方程，是用推理得到的启发式，而不是用任何定律或公理推导出来的。讯号以光速传播，从源位置到场位置，需要有限时间。所以在时间 $t$ 的推迟势必定是由在推迟时间 $t_{r}$ 的源电荷密度或源电流密度产生的。为了要确定这两个方程的正确性与合理性，必须证明它们满足非齐次的电磁波方程^[1]。还有，洛伦茨规范是一个常用的规范，可以较便利地解析电磁辐射的生成问题。稍后会有表示两个方程满足洛伦茨规范条件的证明。

非齐次的电磁波方程

含时电荷分布或含时电流分布所产生的电势或磁矢势，必须遵守达朗贝尔方程，表达为^[2]^:1

\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-{\rho (\mathbf {r} ,\,t) \over \epsilon _{0}}

、

\nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)

。

假若，这些用启发法推理得到的推迟标势 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 和推迟矢势 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 不能满足非齐次的电磁波方程，那么，这些推迟势很可能有重大错误，无法适用于期望的用途（从含时源生成电磁辐射）。

设定 ${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}$ 为从源位置到场位置的分离矢量：

{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '

。

场位置 $\mathbf {r}$ 、源位置 $\mathbf {r} '$ 和时间 $t$ 都是自变数（independent variable）。分离矢量 ${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}$ 和其大小 ${\mathfrak {R}}$ 都是应变数（dependent variable），跟场位置 $\mathbf {r}$ 、源位置 $\mathbf {r} '$ 有关。推迟时间 $t_{r}=t-{\mathfrak {R}}/c$ 也是应变数，跟时间 $t$ 、分离距离 ${\mathfrak {R}}$ 有关。

推迟标势 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 的梯度是

\nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\nabla \left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\right)\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}+\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '

。

源电荷密度 $\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})$ 的全微分是

{\begin{aligned}d\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}dt_{r}\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left({\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial t_{r}}{\partial {\mathfrak {R}}}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left(dt-{\frac {1}{c}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left[dt-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} )+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} ')\right]\\\end{aligned}}

。

注意到

{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t}}={\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}={\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}

、

\nabla {\mathfrak {R}}={\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}

。

所以，源电荷密度 $\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})$ 的梯度是

\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}\nabla {\mathfrak {R}}=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}=-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}

；

其中， ${\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})$ 定义为 ${\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t_{r}}}$ 。

将这公式代入，推迟标势 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 的梯度是

\nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '

。

推迟标势 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 的拉普拉斯算符是

{\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {\nabla {\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\cdot {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}\right)-[\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})]\cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\ddot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}{\mathfrak {R}}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}-4\pi \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})\right]\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left[{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\right]-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}\\\end{aligned}}

；

其中， $\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})$ 是三维狄拉克δ函数。

所以，推迟标势满足非齐次的电磁波方程

\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}

。

类似地，可以证明推迟矢势 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 满足非齐次的电磁波方程。

洛伦茨规范条件

给予磁场 $\mathbf {B}$ ，并不是只有一个矢量场 $\mathbf {A}$ 满足条件 $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ 。实际上，有无限多个解答。应用一项矢量恒等式， $\nabla \times (\nabla \lambda )=0$ ，给予任意函数 $\lambda$ ，那么， $\mathbb {A} =\mathbf {A} +\nabla \lambda$ 也是一个解答。磁矢势的这种特性，称为规范自由。

物理学家时常会选择使用某种规范来解析特定的问题。在电磁学里，洛伦茨规范是一个常用的规范，可以便利地解析电磁辐射的生成问题。洛伦茨规范用微分方程表达为

\nabla \cdot \mathbf {A} +{1 \over c^{2}}{{\partial \Phi } \over {\partial t}}=0

。

按照前述方法，可以证明推迟标势 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 和推迟矢势 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 满足洛伦茨规范。这是一个很好的练习。

广义的含时电磁场

推迟势与电场 $\mathbf {E}$ 、磁场 $\mathbf {B}$ 的关系分别为

\mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

、

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

。

按照前述方法，可以得到电场 $\mathbf {E}$ 和磁场 $\mathbf {B}$ 的方程，又称为杰斐缅柯方程^[1]：

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r}){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}-{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ d^{3}\mathbf {r} '

。

超前势

定义超前时间 $t_{a}$ 为现在时间 $t$ 加上光波传播的时间：

t_{a}\ {\stackrel {def}{=}}\ t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

。

超前标势 $\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 与超前矢势 $\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 分别用方程表达为

\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

。

这两个方程表明，在时间 $t$ 的超前标势与超前矢势，乃是由在超前时间 $t_{a}$ 的源电荷密度或源电流密度产生的。超前标势 $\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 与超前矢势 $\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 也满足非齐次的电磁波方程和洛伦茨规范，但它们违反了因果律。这是很严峻的问题，未来发生的事件不应该影响过去发生的事件。在物理学里，超前标势和超前矢势只是很有意思的纯理论问题，并没有任何实际用途。

参阅

参考文献

^ ^1.0 ^1.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X.
^ Alexander Komech; Andrew Komech. Principles of Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media. 5 October 2009. ISBN 978-1-4419-1095-0.

[Griffiths1998-1] 1.0 ^1.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X.

[KomechKomech2009-2] Alexander Komech; Andrew Komech. Principles of Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media. 5 October 2009. ISBN 978-1-4419-1095-0.

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