推遲勢

本條目中，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用

\mathbf {r} \,\!

表示；而其大小則用

r\,\!

來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「

'\,\!

」；源變數的標記的後面有單撇號「

'\,\!

」。

在電磁學裏，推遲勢指的是，響應含時電荷分佈或含時電流分佈，而產生的推遲純量勢或推遲向量勢。對於這程序，由於「前因」與「後果」之間必然的推遲關係，訊號以光速從源位置傳播到場位置，需要有限時間。在某源位置的電流或電荷分佈，必須經過一段時間之後，才能夠將其影響傳播到場位置，產生對應的電磁作用。這一段時間的長久跟源位置與場位置之間距離的遠近有關。

理論概念

給予在源位置

\mathbf {r} '

的含時電荷分佈或含時電流分佈，計算在場位置

\mathbf {r}

產生的推遲勢。

對於靜態的電荷分佈和電流分佈，電勢 $\Phi (\mathbf {r} )$ 和磁向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} )$ 分別定義為

\Phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

；

其中， $\mathbf {r}$ 是場位置， $\mathbf {r} '$ 是源位置， $\epsilon _{0}$ 是真空電容率， $\mu _{0}$ 是真空磁導率， $\rho$ 是電荷密度， $\mathbf {J}$ 是電流密度， $\mathbb {V} '$ 是體積分的空間， $d^{3}\mathbf {r} '$ 是微小體元素。

在電動力學裏，這兩個方程式必須加以延伸，才能正確地響應含時電流分佈或含時電荷分佈。定義推遲時間 $t_{r}$ 為檢驗時間 $t$ 減去電磁波傳播的時間：

t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

；

其中， $c$ 是光速。

假設，從源位置 $\mathbf {r} '$ 往場位置 $\mathbf {r}$ 發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間 $t$ 抵達觀測者的場位置 $\mathbf {r}$ ，則這束電磁波發射的時間是推遲時間 $t_{r}$ 。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間 $t$ ，會不同於這電磁波發射的推遲時間 $t_{r}$ 。

推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 與推遲向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 分別用方程式定義為

\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

。

請注意，在這兩個含時方程式內，源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間 $t_{r}$ 有關，而不是與時間無關。

這兩個含時方程式，是用推理得到的啟發式，而不是用任何定律或公理推導出來的。訊號以光速傳播，從源位置到場位置，需要有限時間。所以在時間 $t$ 的推遲勢必定是由在推遲時間 $t_{r}$ 的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性，必須證明它們滿足非齊次的電磁波方程式^[1]。還有，勞侖次規範是一個常用的規範，可以較便利地解析電磁輻射的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足勞侖次規範條件的證明。

非齊次的電磁波方程式

含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢，必須遵守達朗貝爾方程式，表達為^[2]^:1

\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-{\rho (\mathbf {r} ,\,t) \over \epsilon _{0}}

、

\nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)

。

假若，這些用啟發法推理得到的推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 和推遲向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 不能滿足非齊次的電磁波方程式，那麼，這些推遲勢很可能有重大錯誤，無法適用於期望的用途（從含時源生成電磁輻射）。

設定 ${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}$ 為從源位置到場位置的分離向量：

{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '

。

場位置 $\mathbf {r}$ 、源位置 $\mathbf {r} '$ 和時間 $t$ 都是自變數（independent variable）。分離向量 ${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}$ 和其大小 ${\mathfrak {R}}$ 都是應變數（dependent variable），跟場位置 $\mathbf {r}$ 、源位置 $\mathbf {r} '$ 有關。推遲時間 $t_{r}=t-{\mathfrak {R}}/c$ 也是應變數，跟時間 $t$ 、分離距離 ${\mathfrak {R}}$ 有關。

推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 的梯度是

\nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\nabla \left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\right)\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}+\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '

。

源電荷密度 $\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})$ 的全微分是

{\begin{aligned}d\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}dt_{r}\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left({\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial t_{r}}{\partial {\mathfrak {R}}}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left(dt-{\frac {1}{c}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left[dt-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} )+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} ')\right]\\\end{aligned}}

。

注意到

{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t}}={\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}={\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}

、

\nabla {\mathfrak {R}}={\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}

。

所以，源電荷密度 $\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})$ 的梯度是

\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}\nabla {\mathfrak {R}}=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}=-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}

；

其中， ${\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})$ 定義為 ${\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t_{r}}}$ 。

將這公式代入，推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 的梯度是

\nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '

。

推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 的拉普拉斯算符是

{\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {\nabla {\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\cdot {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}\right)-[\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})]\cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\ddot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}{\mathfrak {R}}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}-4\pi \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})\right]\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left[{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\right]-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}\\\end{aligned}}

；

其中， $\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})$ 是三維狄拉克δ函數。

所以，推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式

\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}

。

類似地，可以證明推遲向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 滿足非齊次的電磁波方程式。

勞侖次規範條件

給予磁場 $\mathbf {B}$ ，並不是只有一個向量場 $\mathbf {A}$ 滿足條件 $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ 。實際上，有無限多個解答。應用一項向量恆等式， $\nabla \times (\nabla \lambda )=0$ ，給予任意函數 $\lambda$ ，那麼， $\mathbb {A} =\mathbf {A} +\nabla \lambda$ 也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為規範自由。

物理學家時常會選擇使用某種規範來解析特定的問題。在電磁學裏，勞侖次規範是一個常用的規範，可以便利地解析電磁輻射的生成問題。勞侖次規範用微分方程式表達為

\nabla \cdot \mathbf {A} +{1 \over c^{2}}{{\partial \Phi } \over {\partial t}}=0

。

按照前述方法，可以證明推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 和推遲向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 滿足勞侖次規範。這是一個很好的練習。

廣義的含時電磁場

推遲勢與電場 $\mathbf {E}$ 、磁場 $\mathbf {B}$ 的關係分別為

\mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

、

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

。

按照前述方法，可以得到電場 $\mathbf {E}$ 和磁場 $\mathbf {B}$ 的方程式，又稱為傑斐緬柯方程式^[1]：

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r}){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}-{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ d^{3}\mathbf {r} '

。

超前勢

定義超前時間 $t_{a}$ 為現在時間 $t$ 加上光波傳播的時間：

t_{a}\ {\stackrel {def}{=}}\ t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

。

超前純量勢 $\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 與超前向量勢 $\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 分別用方程式表達為

\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

。

這兩個方程式表明，在時間 $t$ 的超前純量勢與超前向量勢，乃是由在超前時間 $t_{a}$ 的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢 $\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 與超前向量勢 $\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範，但它們違反了因果律。這是很嚴峻的問題，未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏，超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題，並沒有任何實際用途。

參閱

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X.
^ Alexander Komech; Andrew Komech. Principles of Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media. 5 October 2009. ISBN 978-1-4419-1095-0.

[Griffiths1998-1] 1.0 ^1.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X.

[KomechKomech2009-2] Alexander Komech; Andrew Komech. Principles of Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media. 5 October 2009. ISBN 978-1-4419-1095-0.

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