输入-状态稳定性

输入-状态稳定性（Input-to-state stability）简称ISS，是在有外部输入时，非线性的控制理论中探讨其稳定性的方式。简单来说，控制系统具有输入-状态稳定性也就是指在没有外在输入时，系统会渐近稳定，而且在足够长的时间后，系统轨迹会限制在和输入大小有关的函数中。

输入-状态稳定性之所以重要，是因为此概念连接了输入-输出稳定性以及状态空间法，这二个都是控制系统研究者常常使用的工具。输入-状态稳定性的标示方式是由Eduardo Sontag在1989年开始使用。

定义

考虑非时变常微分方程，其形式如下

${\dot {x}}=f(x,u),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},$

(1)

其中$u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}$是勒贝格测度有本质确界的外部输入，且 $f$是利普希茨连续函数。这可以确保系统(1)有唯一绝对连续的解。

若要定义ISS以及其他相关的性质，需要引入以下的比较函数分类。令${\mathcal {K}}$（K类函数）为连续递增函数$\gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}$，且$\gamma (0)=0$形成的集合，令${\mathcal {K}}_{\infty }$为无界函数$\gamma \in {\mathcal {K}}$，再令$\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$（KL类函数）为若$\beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}$在所有的$t\geq 0$都成立，而且针对所有的$r>0$，$\beta (r,\cdot )$连续，且严格递减至0。

系统(1)称为在原点全域渐近稳定（0-GAS），若对应的零输入系统

${\dot {x}}=f(x,0),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},$

(WithoutInputs)

是全域李雅普诺夫稳定，也就是存在 $\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$使得针对所有的初值 $x_{0}$以及任意时间$t\geq 0$，以下有关(WithoutInputs)解的估计都有效＞：

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t).$

(GAS-Estimate)

系统(1)称为输入-状态稳定性（ISS）若存在函数 $\gamma \in {\mathcal {K}}$且$\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$使得针对所有初值$x_{0}$，所有可行的输入$u$以及任意时间$t\geq 0$，以下的不等式都成立

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).$

(2)

上述不等式中的函数$\gamma$称为增益（gain）。

很明显的，ISS系统是0-GAS系统，也有有界输入有界输出稳定性（若令输出等于状态），不过0-GAS系统不一定是ISS系统。

也可以证明若在$t\to \infty$时，$|u(t)|\to 0$，则在$t\to \infty$时，$|x(t)|\to 0$。

输入-状态稳定性质的特点

为了要了解输入-状态稳定性，需要用其他的稳定性术语来重新说明。

系统(1)为全域稳定（GS），若存在 $\gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}$，使得对于$\forall u$、$\forall t\geq 0$及$\forall x_{0}$，下式都成立

$|x(t)|\leq \sigma (|x_{0}|)+\gamma (\|u\|_{\infty }).$

(GS)

系统(1)满足渐近增益（AG）特性，若存在$\gamma \in {\mathcal {K}}$，使得对于$\forall x_{0}$, $\forall u$，下式都成立

$\limsup _{t\to \infty }|x(t)|\leq \gamma (\|u\|_{\infty }).$

(AG)

以下的描述都是等效的 ：

1. (1)有ISS（输入-状态稳定性）
2. (1)是GS（全域稳定），且有AG（渐近增益）特性
3. (1)是0-GAS（在原点全域渐近稳定），且有AG（渐近增益）特性

在论文中可以找到以上论述的证明，以及许多输入-状态稳定性的特性。

ISS-李亚普诺夫函数

ISS-李亚普诺夫函数是验证输入-状态稳定性时的重要工具。

光滑函数$V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}$是系统(1)的ISS-李亚普诺夫函数，若$\exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }$, $\chi \in {\mathcal {K}}$，以及正定函数 $\alpha$，使得下式成立：

$\psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}$

以及 $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}$，下式成立：

$|x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),$

函数$\chi$称为李亚普诺夫增益（Lyapunov gain）。

若系统(1)没有输入（也就是$u\equiv 0$），则最后一式可以简化如下

$\nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,$

因此$V$也是（一般定义的）李亚普诺夫函数。

E. Sontag和Y. Wang得到的重要结论是系统(1)为ISS，当且仅当存在光滑ISS李亚普诺夫函数。

例子

考虑一系统

${\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.$

定义候选的ISS-李亚普诺夫函数$V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$如下 $V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .$

${\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.$

选择李亚普诺夫增益$\chi$为

$\chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r$.

可以得到在$x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)$的条件下，下式成立

${\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.$

可得$V$是该系统的ISS-李亚普诺夫函数，李亚普诺夫增益为$\chi$。

其他相关概念

积分输入-状态稳定性（iISS）

系统(1)为积分输入-状态稳定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函数$\alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}$及$\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$，使得针对所有初值$x_{0}$，所有可行的输入$u$及任意时间$t\geq 0$下，以下不等式都会成立：

$\alpha (|x(t)|)\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}\gamma (|u(s)|)ds.$

(3)

积分输入-状态稳定性（iISS）系统和ISS系统不同，若系统是iISS系统，在有界输入下其轨迹仍可能会成长到无限大。例如，在所有$r\geq 0$，令$\alpha (r)=\gamma (r)=r$，且令$u\equiv c=const$，则估计(3)会变成以下的形式

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,$

随着$t\to \infty$，等号右侧会趋近无限大 $t\to \infty$。

局部输入-状态稳定性（LISS）

局部输入-状态稳定性也是一种输入-状态稳定性的特性。系统(1)为局部输入-状态稳定性（locally ISS、LISS）若存在常数$\rho >0$、函数 $\gamma \in {\mathcal {K}}$及$\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$使得：针对所有$x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho$，所有可行的输入$u:\|u\|_{\infty }\leq \rho$及任意时间$t\geq 0$，下式都成立

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).$

(4)

可以观察到0-GAS系统会有LISS系统的特性。

其他的稳定性

也有其他人提出和输入-状态稳定性有关的稳定性特性，例如增量输入-状态稳定性（incremental ISS）、输入至输出动态稳定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）、输入至输出实务稳定性（input-to-state practical stability、ISpS）、输入至输出稳定性（input-to-output stability、IOS）等。

时滞系统的ISS

考虑非时变的时滞微分方程

${\dot {x}}(t)=f(x^{t},u(t)),\quad t>0.$

(TDS)

其中$x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})$是系统(TDS)在时间$t$的状态，$x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]$及$f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}$需满足特定假设，以确保系统(TDS)的解存在且唯一。

系统(TDS)为ISS，当且仅当存在函数$\beta \in {\mathcal {KL}}$及$\gamma \in {\mathcal {K}}$，使得针对所有$\xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})$，所有可行的输入，在任意时间$t\in \mathbb {R} _{+}$下，下式都成立

$\left|x(t)\right|\leq \beta (\left\|\xi \right\|_{\left[-\theta ,0\right]},t)+\gamma (\left\|u\right\|_{\infty }).$

(ISS-TDS)

在时滞系统的ISS理论中，提出了二个不同的李亚普诺夫型的充份条件：透过ISS Lyapunov-Razumikhin函数及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函。有些论文有提到有关时滞系统的逆李亚普诺夫定理。

其他类型系统的输入-状态稳定性

以非时变常微分方程为基础的输入-状态稳定性是已有相当发展的理论。也有研究者将此理论应用在其他的系统中，例如时变系统、混合系统。近来也有人提出，将输入-状态稳定性的一些概念扩展到无限维系统的想法。