輸入-狀態穩定性
輸入-狀態穩定性(Input-to-state stability)簡稱ISS[1][2],是在有外部輸入時,非線性的控制理論中探討其穩定性的方式。簡單來說,控制系統具有輸入-狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時,系統會漸近穩定,而且在足夠長的時間後,系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函數中。
輸入-狀態穩定性之所以重要,是因為此概念連接了輸入-輸出穩定性以及狀態空間法,這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入-狀態穩定性的標示方式是由Eduardo Sontag在1989年開始使用[3]。
定義
編輯考慮非時變常微分方程,其形式如下
其中 是勒貝格測度有本質確界的外部輸入,且 是利普希茨連續函數。這可以確保系統(1)有唯一絕對連續的解。
若要定義ISS以及其他相關的性質,需要引入以下的比較函數分類。令 (K類函數)為連續遞增函數 ,且 形成的集合,令 為無界函數 ,再令 (KL類函數)為若 在所有的 都成立,而且針對所有的 , 連續,且嚴格遞減至0。
系統(1)稱為在原點全域漸近穩定(0-GAS),若對應的零輸入系統
是全域李雅普諾夫穩定,也就是存在 使得針對所有的初值 以及任意時間 ,以下有關(WithoutInputs)解的估計都有效>:
系統(1)稱為輸入-狀態穩定性(ISS)若存在函數 且 使得針對所有初值 ,所有可行的輸入 以及任意時間 ,以下的不等式都成立
上述不等式中的函數 稱為增益(gain)。
很明顯的,ISS系統是0-GAS系統,也有有界輸入有界輸出穩定性(若令輸出等於狀態),不過0-GAS系統不一定是ISS系統。
也可以證明若在 時, ,則在 時, 。
輸入-狀態穩定性質的特點
編輯為了要瞭解輸入-狀態穩定性,需要用其他的穩定性術語來重新說明。
系統(1)為全域穩定(GS),若存在 ,使得對於 、 及 ,下式都成立
系統(1)滿足漸近增益(AG)特性,若存在 ,使得對於 , ,下式都成立
以下的描述都是等效的 [4]:
ISS-李亞普諾夫函數
編輯ISS-李亞普諾夫函數是驗證輸入-狀態穩定性時的重要工具。
光滑函數 是系統(1)的ISS-李亞普諾夫函數,若 , ,以及正定函數 ,使得下式成立:
以及 ,下式成立:
函數 稱為李亞普諾夫增益(Lyapunov gain)。
若系統(1)沒有輸入(也就是 ),則最後一式可以簡化如下
因此 也是(一般定義的)李亞普諾夫函數。
例子
編輯考慮一系統
定義候選的ISS-李亞普諾夫函數 如下
選擇李亞普諾夫增益 為
- .
可以得到在 的條件下,下式成立
可得 是該系統的ISS-李亞普諾夫函數,李亞普諾夫增益為 。
其他相關概念
編輯積分輸入-狀態穩定性(iISS)
編輯系統(1)為積分輸入-狀態穩定性(integral input-to-state stable,iISS)若存在函數 及 ,使得針對所有初值 ,所有可行的輸入 及任意時間 下,以下不等式都會成立:
積分輸入-狀態穩定性(iISS)系統和ISS系統不同,若系統是iISS系統,在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如,在所有 ,令 ,且令 ,則估計(3)會變成以下的形式
隨著 ,等號右側會趨近無限大 。
局部輸入-狀態穩定性(LISS)
編輯局部輸入-狀態穩定性也是一種輸入-狀態穩定性的特性。系統(1)為局部輸入-狀態穩定性(locally ISS、LISS)若存在常數 、函數 及 使得:針對所有 ,所有可行的輸入 及任意時間 ,下式都成立
可以觀察到0-GAS系統會有LISS系統的特性[6]。
其他的穩定性
編輯也有其他人提出和輸入-狀態穩定性有關的穩定性特性,例如增量輸入-狀態穩定性(incremental ISS)、輸入至輸出動態穩定性(input-to-state dynamical stability、ISDS)[7]、輸入至輸出實務穩定性(input-to-state practical stability、ISpS)、輸入至輸出穩定性(input-to-output stability、IOS)[8]等。
時滯系統的ISS
編輯考慮非時變的時滯微分方程
其中 是系統(TDS)在時間 的狀態, 及 需滿足特定假設,以確保系統(TDS)的解存在且唯一。
系統(TDS)為ISS,若且唯若存在函數 及 ,使得針對所有 ,所有可行的輸入,在任意時間 下,下式都成立
在時滯系統的ISS理論中,提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件:透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數[9]及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函[10]。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理[11]。
其他類型系統的輸入-狀態穩定性
編輯以非時變常微分方程為基礎的輸入-狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中,例如時變系統[12]、混合系統[13][14]。近來也有人提出,將輸入-狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法[15][16][1][17]。
參考資料
編輯- ^ 1.0 1.1 Iasson Karafyllis and Zhong-Ping Jiang. Stability and stabilization of nonlinear systems. Communications and Control Engineering Series. Springer-Verlag London Ltd., London, 2011.
- ^ E. D. Sontag. Input to state stability: basic concepts and results. In Nonlinear and optimal control theory, volume 1932 of Lecture Notes in Math., pages 163–220, Berlin, 2008. Springer
- ^ Eduardo D. Sontag. Smooth stabilization implies coprime factorization. IEEE Trans. Automat. Control, 34(4):435–443, 1989.
- ^ 4.0 4.1 Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. New characterizations of input-to-state stability Archive-It的存檔,存檔日期2011-04-01. IEEE Trans. Automat. Control, 41(9):1283–1294, 1996.
- ^ 5.0 5.1 Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. On characterizations of the input-to-state stability property (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館). Systems Control Lett., 24(5):351–359, 1995.
- ^ Lemma I.1, p.1285 in Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. New characterizations of input-to-state stability. IEEE Trans. Automat. Control, 41(9):1283–1294, 1996
- ^ Lars Grüne. Input-to-state dynamical stability and its Lyapunov function characterization. IEEE Trans. Automat. Control, 47(9):1499–1504, 2002.
- ^ Z.-P. Jiang, A. R. Teel, and L. Praly. Small-gain theorem for ISS systems and applications. Math. Control Signals Systems, 7(2):95–120, 1994.
- ^ Andrew R. Teel. Connections between Razumikhin-type theorems and the ISS nonlinear small gain theorem. IEEE Trans. Automat. Control, 43(7):960–964, 1998.
- ^ P. Pepe and Z.-P. Jiang. A Lyapunov-Krasovskii methodology for ISS and iISS of time-delay systems. Systems Control Lett., 55(12):1006–1014, 2006.
- ^ Iasson Karafyllis. Lyapunov theorems for systems described by retarded functional differential equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 64(3):590 – 617,2006.
- ^ Y. Lin, Y. Wang, and D. Cheng. On nonuniform and semi-uniform input-to-state stability for time-varying systems. In IFAC World Congress, Prague, 2005.
- ^ C. Cai and A.R. Teel. Characterizations of input-to-state stability for hybrid systems. Systems & Control Letters, 58(1):47–53, 2009.
- ^ D. Nesic and A.R. Teel. A Lyapunov-based small-gain theorem for hybrid ISS systems. In Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico, Dec. 9-11, 2008, pages 3380–3385, 2008.
- ^ Bayu Jayawardhana, Hartmut Logemann, and Eugene P. Ryan. Infinite-dimensional feedback systems: the circle criterion and input-to-state stability (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館). Commun. Inf. Syst., 8(4):413–414, 2008.
- ^ Dashkovskiy, S. and Mironchenko, A. Input-to-state stability of infinite-dimensional control systems.[永久失效連結] In Mathematics of Control, Signals, and Systems (MCSS),2013
- ^ F. Mazenc and C. Prieur. Strict Lyapunov functions for semilinear parabolic partial differential equations. Mathematical Control and Related Fields, 1:231–250, June 2011.