有界输入有界输出稳定性

在信号处理及控制理论中，有界输入有界输出稳定性简称BIBO稳定性，是一种针对有输入信号线性系统的稳定性。BIBO是“有界输入有界输出”（Bounded-Input Bounded-Output）的简称，若系统有BIBO稳定性，则针对每一个有界的输入，系统的输出也都会有界，不会发散到无限大。

对于信号若存在有限的定值 $B>0$ 使得信号的幅度不会超过 $B$ ，则此信号为有界的，也就是说

\ |y[n]|\leq B\quad \forall n\in \mathbb {Z}

针对离散信号，或

\ |y(t)|\leq B\quad \forall t\in \mathbb {R}

针对连续信号

线性非时变系统时域分析下的条件编辑

连续系统的充份及必要条件编辑

针对连续时间的线性非时变（LTI）系统，BIBO稳定性的条件是脉冲响应需为绝对可积分，也就是存在L¹范数

$\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t}=\|h\|_{1}<\infty$

离散系统的充份条件编辑

针对离散时间的线性非时变系统，BIBO稳定性的条件是脉冲响应需为绝对可积分，也就是存在L¹范数

\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty

充份条件的证明编辑

假设离散时间的线性非时变系统，其脉冲响应 $\ h[n]$ 和输入 $\ x[n]$ 和输出 $\ y[n]$ 之间会有以下的关系：

\ y[n]=h[n]*x[n]

其中 $*$ 为卷积则依卷积的定义：

\ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}

令 $\|x\|_{\infty }$ 为 $\ |x[n]|$ 的最大值

\left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|

\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}

（根据三角不等式）

\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}

=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}

=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}

若 $h[n]$ 是绝对可求和，则 $\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty$ 且

\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}

因此若 $h[n]$ 是绝对可求和，且 $\left|x[n]\right|$ 有界，则因为 $\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty$ ， $\left|y[n]\right|$ 也会有界。

连续时间的情形也可以依类似的方式证明。

线性非时变系统频域分析下的条件编辑

连续时间信号编辑

对于一个有理的连续时间系统，稳定性的条件是拉普拉斯转换的收敛区域包括复数平面的虚轴。若系统为因果系统，其收敛区域为“最大极点”（实部为最大值的极点）实部垂直线往右的开集，定义收敛区域的极点实部称为收敛横坐标（英语：abscissa of convergence）。因此，若要有BIBO稳定性，系统的所有极点都需在S平面的严格左半平面（不能在虚轴上）。

可以将时域分析下的稳定性条件扩展到频域下：

\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,\operatorname {d} t}

=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|dt}

=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|dt}

=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|dt}

=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)e^{-st}\right|dt}

其中 $s=\sigma +j\omega$ ，且 ${\mbox{Re}}(s)=\sigma =0$ .

因此收敛区域必须包括虚轴。

离散时间信号编辑

对于一个有理的离散时间系统，稳定性的条件是Z转换的收敛区域包括单位圆。若系统为因果系统，其收敛区域为极点绝对值中最大值为半径的圆周以外的开集，因此，若要有BIBO稳定性，系统的所有极点都需在Z平面的单位圆内（不能在单位圆上）。

可以用类似的方式推导稳定性准则：

\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}

=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|}

=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|}

=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}

其中 $z=re^{j\omega }$ ，且 $r=|z|=1$

因此收敛区域必须包括单位圆。

延伸阅读编辑

Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
Proof of the necessary conditions for BIBO stability. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577

有界输入有界输出稳定性

目录