回文数

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迴文数回文数是指像14641这样“对称”的,即:将这数的位数反转排列得到的“倒序数”[1]:94或“反序数”[1]:59和原数一样。这里,“回文”是指像“妈妈爱我,我爱妈妈”这样,正读反读都相同的单词或句子。

回文数在休闲数学领域备受关注,典型的问题就是寻找那些有某种特性且符合回文特征的数,如

巴克敏斯特·福乐的著作《协同学》(Synergetics)把回文数也叫做沙拉扎数(Scheherazade Numbers),沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相女儿之名。

任何进位制都有无限个回文数;101、1001、10001、…(一个1后接n个0再后接一个1)等各项在任何进制都是回文数,可组成有无限项的序列,这进制的回文数有无限(其中包括但不限于该序列中的无限项)。

正式定义

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虽然通常考虑十进制回文数,但回文性质可延伸到任何记数系统自然数。以bb≥2)为的数nn>0)可按标准方式表示为k+1个 ,即

 

其中,如惯例,对所有i 都要求 ,且 。则n称为回文数,当且仅当对所有i 都有 在任何基均写作0并由定义认为它也是回文数。

另一种等价定义如下:在任何基b,当且仅当:

  • n是一位数,或
  • n为两位相同数字,或
  • n由三位或更多数字组成,其首位和末位数字相同,且从n中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文

的数n称为回文。

十进制

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10基数中所有单位0123456789}都是回文数。

两位回文数有9个:

{11、22、33、44、55、66、77、88、99}

三位回文数有90个:

{101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999}

四位回文数也有90个:

{1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999}

小于104的回文数共199个,小于105的回文数有1099个,对其它的10的整数幂10n来说,分别有:1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…(OEIS数列A070199)个回文数。下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数(其中包括将0也作为回文数):

101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
n自然数 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n偶数 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889
n奇数 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110
n完全平方数 3 6 13 14 19
n素数 4 5 20 113 781 5953
n因数中不含平方数的数 6 12 67 120 675
n为可被某平方数整除的数(即μ(n)=0) 3 6 41 78 423
n为素数的平方数 2 3 5
n有偶数个相异的素因子(即μ(n)=1) 2 6 35 56 324
n有奇数个相异的素因子(即μ(n)=-1) 5 7 33 65 352
n本身为偶数并有奇数个素因子
n本身为偶数并有奇数个相异的素因子 1 2 9 21 100
n本身为奇数并有奇数个素因子 0 1 12 37 204
n本身为奇数并有奇数个相异的素因子 0 0 4 24 139
n本身为偶数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 1 2 11 15 98
n本身为奇数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 1 4 24 41 226
n为奇数并有正好两个素因子 1 4 25 39 205
n为偶数并有正好两个素因子 2 3 11 64
n为偶数并有正好三个素因子 1 3 14 24 122
n为偶数并有正好三个相异的素因子
n为奇数并有正好三个素因子 0 1 12 34 173
n卡迈克尔数 0 0 0 0 0 1+
n为满足σ(n)是回文数的数 6 10 47 114 688

其它基数

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十进制以外的数系也有回文数,如二进制回文数有:

0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…

以上这些数在十进制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…(OEIS数列A006995)。梅森素数是二进制回文素数的子集。

某基数的回文数在另一基数通常不是回文数,像1646110=404D16(下标数字表示基数n16表示以十六进制写出的n)。然而,有些数字在几套进制都是回文数(称为“协回文”,copalindromic),如10510在五套不同进制都是回文数:12214=1518=7714=5520=3334;十进制数1991在十六进制为7C7,也是回文。

7的一些幂在18进制是回文:

  • 73= 111
  • 74= 777
  • 76= 12321
  • 79=1367631

任何数n在所有bn+1的基数b都是回文(这时n是单位数);在基为n-1时同样也是回文数(这时n就成了11n-1)。如果对于2≤bn-2,某数在基b都是非回文数,则称其是严格非回文数(Strictly non-palindromic number)。如6在二进制是110,三进制是20,四进制是12,都不是回文数,是严格非回文数。这样的数其中一种特质是6以上的数都是素数,首几项:1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… (OEIS数列A016038)。

参见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 徐连信. C语言程序设计. 清华大学出版社. 2005. 

外部链接

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