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回文数

迴文数或回文數是指像14641这样“对称”的数，即：将这数的位数反轉排列得到的「倒序數」[1]:94或「反序數」[1]:59和原数一样。这裡，“回文”是指像“妈妈爱我，我爱妈妈”这样，正读反读都相同的单词或句子。

回文数在休闲数学领域备受关注，典型的问题就是寻找那些有某种特性且符合回文特征的数，如

巴克敏斯特·福乐的著作《协同学》（Synergetics）把回文数也叫做沙拉扎数（Scheherazade Numbers），沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相女儿之名。

任何進位制都有无限个回文数；101、1001、10001、…（一个1后接n个0再后接一个1）等各项在任何進制都是回文数，可组成有无限项的序列，这進制的回文数有无限（其中包括但不限于该序列中的无限项）。

正式定义

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虽然通常考虑十进制回文数，但回文性质可延伸到任何记数系统的自然数。以b（b≥2）为底的数n（n＞0）可按标准方式表示为k＋1个数 ，即

 

其中，如惯例，对所有i 都要求 ，且 。则n称为回文数，当且仅当对所有i 都有 。零在任何基均写作0并由定义认为它也是回文数。

另一种等价定义如下：在任何基b，当且仅当：

  • n是一位数，或
  • n为两位相同数字，或
  • n由三位或更多数字组成，其首位和末位数字相同，且从n中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文

的数n称为回文。

十进制

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10基数中所有单位数｛0、1、2、3、4、5、6、7、8、9｝都是回文数。

两位回文数有9个：

｛11、22、33、44、55、66、77、88、99｝

三位回文数有90个：

｛101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999｝

四位回文数也有90个：

｛1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999｝

小于104的回文数共199个，小于105的回文数有1099个，对其它的10的整数幂10n来说，分别有：1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…（OEIS數列A070199）个回文数。下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数（其中包括将0也作为回文数）：

101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
n为自然数 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n为偶数 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889
n为奇数 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110
n为完全平方数 3 6 13 14 19 ＋ ＋
n为素数 4 5 20 113 781 5953
n为因数中不含平方数的数 6 12 67 120 675 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为可被某平方数整除的数（即μ(n)＝0） 3 6 41 78 423 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为素数的平方数 2 3 5
n有偶数个相异的素因子（即μ(n)＝1） 2 6 35 56 324 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n有奇数个相异的素因子（即μ(n)＝－1） 5 7 33 65 352 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n本身为偶数并有奇数个素因子
n本身为偶数并有奇数个相异的素因子 1 2 9 21 100 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n本身为奇数并有奇数个素因子 0 1 12 37 204 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n本身为奇数并有奇数个相异的素因子 0 0 4 24 139 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n本身为偶数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 1 2 11 15 98 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n本身为奇数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 1 4 24 41 226 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为奇数并有正好两个素因子 1 4 25 39 205 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为偶数并有正好两个素因子 2 3 11 64 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为偶数并有正好三个素因子 1 3 14 24 122 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为偶数并有正好三个相异的素因子
n为奇数并有正好三个素因子 0 1 12 34 173 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为卡迈克尔数 0 0 0 0 0 1＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为满足σ(n)是回文数的数 6 10 47 114 688 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋

其它基数

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十进制以外的数系也有回文数，如二进制回文数有：

0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…

以上这些数在十进制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…（OEIS數列A006995）。梅森素数是二进制回文素数的子集。

某基数的回文数在另一基数通常不是回文数，像1646110＝404D16（下标数字表示基数，n16表示以十六进制写出的n）。然而，有些数字在几套進制都是回文数（称为“协回文”，copalindromic），如10510在五套不同進制都是回文数：12214＝1518＝7714＝5520＝3334；十进制数1991在十六进制为7C7，也是回文。

7的一些幂在18進制是回文：

  • 73＝ 111
  • 74＝ 777
  • 76＝ 12321
  • 79＝1367631

任何数n在所有b≥n＋1的基数b都是回文（这时n是单位数）；在基为n－1时同样也是回文数（这时n就成了11n－1）。如果對於2≤b≤n－2，某数在基b都是非回文数，则称其是严格非回文数（Strictly non-palindromic number）。如6在二進制是110，三進制是20，四進制是12，都不是回文數，是嚴格非回文數。這樣的數其中一種特質是6以上的數都是質數，首幾項：1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… （OEIS數列A016038）。

参见

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 徐连信. C语言程序设计. 清华大学出版社. 2005. 

外部链接

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