逆序对

一个序列失去自然次序的元素对

计算机科学离散数学中,一个序列的逆序(inversion),是失去自然次序的元素对。

这个置换中的一个逆序对,表示为位置对(2,4)或元素对(5,2)。
这个置换的逆序,使用基于位置表示法表示为:(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)和(2, 5);
或者使用基于元素表示法表示为:(3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2)和(5, 4)。

定义

编辑

逆序

编辑
 
一个四元素置换的从基于位置逆序到基于元素逆序的映射。

 为一个排列,如果 而且 , 这个位置(有称为“序位”)对 [1][2],或者这个元素对 [3][4][5],被称为是 的一个逆序。

逆序集是所有逆序的集合。一个排列 的使用基于位置表示法的逆序集,相同于其反向排列 的使用基于元素表示法的逆序集,只有每个有序对的两个分量交换位置,反之亦然[6]

通常逆序是对于排列的定义,但也可以用于序列: 设 是一个序列(或多重集排列[7])。如果 而且 , 这个位置对 [7][8],或者这个元素对 [9],被称为是 的一个逆序。

对于序列,根据基于元素定义的逆序不是唯一性的,因为不同的位置对上可能有相同的值对。

逆序数

编辑

序列 逆序数 [10],是逆序集的,它常用于量度排列[5]或序列[9]的已排序程度(有时叫做预排序度presortedness)。逆序数在  之间,含二者。

在一个排列的箭头指向图中,它是箭头指向相交叉的数[6],也是从单位排列而得到的Kendall tau距离英语Kendall tau distance,以及每个与逆序有关的向量之和,它们在后面章节中定义。

对于逆序数,基于位置与基于元素定义之间的分别并不重要,因为排列及其反向排列都具有相同的逆序数。

其它测量(预先)排序程度的方式,包括了为排好序列而从序列中可以删除元素的最小数量,对序列所“运行”排序的次数和长度,每个元素在已排序位置之上的距离总和(Spearman footrule),以及排序过程中必需的最少交换次数[11]。比较排序算法计算逆序数的时间为 [12]

目前求逆序对数目比较普遍的方法,是利用归并排序做到 时间复杂度;也可以利用树状数组、线段树来实现这种基础功能。复杂度均为 

逆序有关的向量

编辑

有三个类似的向量用于将排列的逆序,压缩到能唯一确定它的这个向量中。它们通常被称为逆序向量Lehmer码英语Lehmer code。这里的定义及公式来源于逆序 (离散数学)

本文将逆序向量记为 [13],其它的两个向量有时分别称为“左”和“右”逆序向量;为了避免与前面的逆序向量混淆,本文将另两个分别称为“左逆序计数” 和“右逆序计数” 。左逆序计数是以反向colexicographic次序的排列[14],右逆序计数则是以字典序的排列。

 
Rothe图

逆序向量 
采用基于元素的定义, 是有序对较小(右)分量为 的逆序数[3]

 是在 之中于 之前,大于 的元素的数量。
 

其更符合直觉的定义方式为:

 是在 之中于 之前,大于 的元素的数量。
 

后者定义也适用于没有反向对应者的序列。

左逆序计数 
采用基于位置的定义, 是有序对较大(右)分量为 的逆序数。

 是在 之中于 之前,大于 的元素的数量。
 

右逆序计数 ,通常称为Lehmer码
采用基于位置的定义, 是有序对较小(左)分量为 的逆序数。

  之中于 之后,小于 的元素的数量。
 

  之间的关系:

 

 

 的第一个数字和 的最后一个数字总是 ,可以省略。

Rothe图可以协助找出  Rothe英语Heinrich August Rothe图是以黑点来表示1的排列矩阵,每一个位置上若为逆序(通常以叉号表示),则在其右侧与下方即有一点。 是图中第 列排列逆序的加总,而  栏中排列逆序的加总。排列矩阵的逆矩阵即是此矩阵的转置矩阵,因此某一排列的 即是它转置矩阵的 ,反之亦然。

  之间的关系:

 

范例:四个元素的全部排列

编辑
 
四个元素的6种可能逆序

下面可排序表显示了四个元素的集合,它的逆序集会有不同位置的24种排列、逆序相关向量和逆序数(右栏是它的反向排列,用于以colex排序)。可以看出  的位数总是相同,而  与位逆序集有关。 最右侧栏是排列左上右下对角线的总和,如三角形图示,以及 是左下右上对角线的总和(配对在下降对角线中其右侧都是 组成,而在上升对角线中的左侧都是 组成)。 此表中 的预设排序是反向colex次序,这与 的colex次序相同。 的字典序与 的字典序相同。

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
      p-b   #
0   1234 4321 0000 0000 0000 0000   0000 0000 0
1   2134 4312 1000 0001 0010 0100   1000 0001 1
2   1324 4231 0100 0010 0100 0010   0100 0010 1
3   3124 4213 1100 0011 0110 0110   2000 0002 2
4   2314 4132 2000 0002 0200 0020   1100 0011 2
5   3214 4123 2100 0012 0210 0120   2100 0012 3
6   1243 3421 0010 0100 1000 0001   0010 0100 1
7   2143 3412 1010 0101 1010 0101   1010 0101 2
8   1423 3241 0110 0110 1100 0011   0200 0020 2
9   4123 3214 1110 0111 1110 0111   3000 0003 3
10   2413 3142 2010 0102 1200 0021   1200 0021 3
11   4213 3124 2110 0112 1210 0121   3100 0013 4
12   1342 2431 0200 0020 2000 0002   0110 0110 2
13   3142 2413 1200 0021 2010 0102   2010 0102 3
14   1432 2341 0210 0120 2100 0012   0210 0120 3
15   4132 2314 1210 0121 2110 0112   3010 0103 4
16   3412 2143 2200 0022 2200 0022   2200 0022 4
17   4312 2134 2210 0122 2210 0122   3200 0023 5
18   2341 1432 3000 0003 3000 0003   1110 0111 3
19   3241 1423 3100 0013 3010 0103   2110 0112 4
20   2431 1342 3010 0103 3100 0013   1210 0121 4
21   4231 1324 3110 0113 3110 0113   3110 0113 5
22   3421 1243 3200 0023 3200 0023   2210 0122 5
23   4321 1234 3210 0123 3210 0123   3210 0123 6

排列的弱次序

编辑
 
对称群的Permutohedron S4

n物品排列的集合其部分次序的结构,称为排列的弱次序,而构成。 以逆序集的子集关系绘出的哈斯图,则构成了称为permutohedron的骨架。 如果依位置将某一排列分配给每个逆序集,所得到的排序是permutohedron的次序,其中的边对应于连续两元素的交换。这是排列的弱排序。The identity is its minimum, and the permutation formed by reversing the identity is its maximum. 如果依元素将某一排列分配给每个逆序集,所得到的排序将是凯莱图的次序,其中的边对应于连续两元素的交换。对称组的凯莱图与其permutohedron相似,但是每个排列由其反向替换。

参见

编辑

引用

编辑
  1. ^ Aigner 2007,第27页.
  2. ^ Comtet 1974,第237页.
  3. ^ 3.0 3.1 Knuth 1973,第11页.
  4. ^ Pemmaraju & Skiena 2003,第69页.
  5. ^ 5.0 5.1 Vitter & Flajolet 1990,第459页.
  6. ^ 6.0 6.1 Gratzer 2016,第221页.
  7. ^ 7.0 7.1 Bóna 2012,第57页.
  8. ^ Cormen et al. 2001,第39页.
  9. ^ 9.0 9.1 Barth & Mutzel 2004,第183页.
  10. ^ Mannila 1985.
  11. ^ Mahmoud 2000,第284页.
  12. ^ Kleinberg & Tardos 2005,第225页.
  13. ^ Weisstein, Eric W. "Inversion Vector"页面存档备份,存于互联网档案馆) From MathWorld--A Wolfram Web Resource
  14. ^ Reverse colex order of finitary permutations (OEIS数列A055089

参考书目

编辑

延伸阅读

编辑
  • Margolius, Barbara H. Permutations with Inversions. Journal of Integer Sequences. 2001, 4. 

预排序度测度

编辑