转置矩阵

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在线性代数中，矩阵A的转置（英语：transpose）是另一个矩阵A^T（也写做A^tr, ^tA, A^t或A′）由下列等价动作建立：

形式上说，m × n矩阵A的转置是n × m矩阵

A_{ij}^{\mathrm {T} }=A_{ji}

for

1\leq i\leq n,

1\leq j\leq m

。

注意： $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$ （转置矩阵）与 $\mathbf {A} ^{-1}$ （逆矩阵）不同。

例子

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$
${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

对于矩阵A, B和标量c转置有下列性质：

$\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad$
转置是自身逆运算。
$(A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }$
转置是从m × n矩阵的向量空间到所有n × m矩阵的向量空间的线性映射。
$\left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }$
注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵A是可逆矩阵，当且仅当A^T是可逆矩阵，在这种情况下有 (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出 (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T。
$(cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }$
标量的转置是同样的标量。
$\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)$
矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。
两个纵列向量a和b的内积可计算为
$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b}$
如果A只有实数元素，则A^TA是半正定矩阵。
如果A是在某个域上，则A 相似于A^T。