引力场

在经典物理学与广义相对论中，引力场（英语：Gravitational field）是用以描述重力现象的模型：一个带有质量的物体会在其周围的空间中建立起引力场，而任何存在在这个空间中的其他带有质量的物体便会受到该引力场的影响而受到一作用力，此作用力便是重力^[1]^{[注 1]}。在SI制中，引力场的单位是[m/s²］。

历史上，最早牛顿提出他的万有引力定律时，是将重力理解为两质点间的直接作用力，此模型中重力的传播是即时的（或传播的速度无限大）。而后牛顿与拉普拉斯试图将提出类似辐射场或流体的重力模型，至19世纪后，引力场已被普遍认为必须以场的方式描述，亦即，两物体间的万有引力并不是即时的作用，而是以场的形式传播并互相影响。

20世纪以后，爱因斯坦的广义相对论取代牛顿的经典理论成为最能精确描述重力的理论，而在引力场源较弱且速度远小于光速时，牛顿的理论可视为爱因斯坦理论的近似。在爱因斯坦的理论中，引力场应视作时空本身的弯曲，弯曲的情形进一步影响物体的运动，造成观察到的重力现象^[2]。数学上，我们说时空是一个四维的流形，引力场的概念必须用微分几何中相应的描述流形弯曲情形的量来描述。

经典力学中的引力场

在经典力学中，引力场是一个物理量^[3]。其定义为：在单一质量 $M$ 附近的引力场是一个矢量场，通常记做 ${\bf {g}}$ ，这个矢量场在空间中各点的方向指向质量M的位置，大小为每单位质点在该处受到的重力，亦即，若一质点 $m$ 在空间中某处受到来自 $M$ 的重力为 ${\bf {F}}$ ，则该处的引力场强度定义为 $\mathbf {F} /m$ ，其中 $m$ 称为测试质量（英语：Test particle）。由此也可看出，引力场强度可以透过牛顿的万有引力定律公式计算^[4]：

\mathbf {g} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {R} }{\mathrm {d} t^{2}}}=-GM{\frac {\mathbf {\hat {R}} }{\left|\mathbf {R} \right|^{2}}}

式中， $G$ 为万有引力常数， $\mathbf {R}$ 为质量 $m$ 的位置矢量（以质量 $M$ 处为原点）， $t$ 为时间， ${\hat {\mathbf {R} }}$ 为 $\mathbf {R}$ 方向的单位矢量。这个式子涵盖了牛顿的万有引力定律。注意到 ${\bf {g}}$ 的大小与质量 $m$ 的加速度 $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {R} /\mathrm {d} t^{2}$ 相同，换言之，引力场强度的量值与重力加速度的量值相等^[5]。

由于重力是保守的，引力场也是保守的，从而它可以被写成一个标量场的梯度^[6]：

\mathbf {g} =-\nabla \Phi

此标量场 $\Phi$ 称作重力位。

若空间中存在多个带质量的物体，那么空间中任一点的引力场则是个别质量在该处建立的引力场的矢量和^[7]：

\mathbf {g} _{j}^{\text{(net)}}=\sum _{i\neq j}\mathbf {g} _{i}={\frac {1}{m_{j}}}\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{i}=-G\sum _{i\neq j}m_{i}{\frac {\mathbf {\hat {R}} _{ij}}{\left|\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} _{j}\right|^{2}}}=-\sum _{i\neq j}\nabla \Phi _{i}

也就是说，质量 $m_{j}$ 处的引力场是除了 $m_{j}$ 本身以外所有其他质量 $m_{i}$ 造成的引力场 $\mathbf {g} _{i}$ 的矢量和。式中 ${\hat {\mathbf {R} }}_{ij}$ 是 $\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} _{j}$ 方向的单位矢量。

进一步对引力场 ${\bf {g}}$ 取散度，我们可以得到

\nabla \cdot \mathbf {g} =-\nabla ^{2}\Phi =-4\pi G\rho

式中 $\rho$ 是造成引力场的质量的密度。这条式子涵盖了高斯的重力定律和帕松的重力方程，和牛顿的万有引力定律等价，两者透过散度定理连结起来。

以上的数条方程即为测试质量 $m$ 的运动方程，也就是说，透过对这些方程求解，我们可以完全确定并描述测试质量的运动状态。

广义相对论中的引力场

引力场的不完全示意图

在广义相对论中，“引力场”和“重力位”的概念分别被“克里斯多福符号”和“度规张量”取代，其中度规张量 $g_{\mu \nu }$ 必须满足爱因斯坦方程^[8]：

G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }

式中 $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R$ 是爱因斯坦张量， $\Lambda$ 为宇宙常数， $\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{2}}}$ 是爱因斯坦的万有引力常数， $T_{\mu \nu }$ 是应力-能量张量。

引力场中的物体运动则由测地线方程决定：

{\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\rho \sigma }^{\mu }{\frac {dx^{\rho }}{d\tau }}{\frac {dx^{\sigma }}{d\tau }}=0

式中的 $\Gamma$ 便是克里斯多福符号。

参见

注释

^ 事实上，不带质量的物体也受引力场影响。

参考文献

^ Feynman, Richard. The Feynman Lectures on Physics I. Addison Wesley Longman. 1970. ISBN 978-0-201-02115-8.
^ Geroch, Robert. General Relativity from A to B. University of Chicago Press. 1981: 181 [2020-11-21]. ISBN 978-0-226-28864-2. （原始内容存档于2021-05-01）.
^ Feynman, Richard. The Feynman Lectures on Physics II. Addison Wesley Longman. 1970. ISBN 978-0-201-02115-8. A “field” is any physical quantity which takes on different values at different points in space.
^ Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (编). Encyclopaedia of Physics 2nd. Wiley-VCH. 1991. ISBN 978-0-89573-752-6. ^{[页码请求]}
^ Whelan, P. M.; Hodgeson, M. J. Essential Principles of Physics 2nd. John Murray. 1978. ISBN 978-0-7195-3382-2.
^ Forshaw, J. R.; Smith, A. G. Dynamics and Relativity. Wiley. 2009. ISBN 978-0-470-01460-8.
^ Kibble, T. W. B. Classical Mechanics. European Physics Series 2nd. UK: McGraw Hill. 1973. ISBN 978-0-07-084018-8.
^ Wheeler, J. A.; Misner, C.; Thorne, K. S. Gravitation. W. H. Freeman & Co. 1973. ISBN 978-0-7167-0344-0.

[2] 事实上，不带质量的物体也受引力场影响。

[1] Feynman, Richard. The Feynman Lectures on Physics I. Addison Wesley Longman. 1970. ISBN 978-0-201-02115-8.

[3] Geroch, Robert. General Relativity from A to B. University of Chicago Press. 1981: 181 [2020-11-21]. ISBN 978-0-226-28864-2. （原始内容存档于2021-05-01）.

[4] Feynman, Richard. The Feynman Lectures on Physics II. Addison Wesley Longman. 1970. ISBN 978-0-201-02115-8. A “field” is any physical quantity which takes on different values at different points in space.

[5] Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (编). Encyclopaedia of Physics 2nd. Wiley-VCH. 1991. ISBN 978-0-89573-752-6. ^{[页码请求]}

[6] Whelan, P. M.; Hodgeson, M. J. Essential Principles of Physics 2nd. John Murray. 1978. ISBN 978-0-7195-3382-2.

[7] Forshaw, J. R.; Smith, A. G. Dynamics and Relativity. Wiley. 2009. ISBN 978-0-470-01460-8.

[8] Kibble, T. W. B. Classical Mechanics. European Physics Series 2nd. UK: McGraw Hill. 1973. ISBN 978-0-07-084018-8.

[9] Wheeler, J. A.; Misner, C.; Thorne, K. S. Gravitation. W. H. Freeman & Co. 1973. ISBN 978-0-7167-0344-0.

[1]

[注 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]