简单电偶极子案例
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一般而言,给定在区域V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 内的连续电荷分布,其电偶极矩为
p ( r ) = ∫ V ′ ρ ( r ′ ) ( r ′ − r ) d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')\,(\mathbf {r} '-\mathbf {r} )\ d^{3}\mathbf {r} '} ;其中,r {\displaystyle \mathbf {r} } 是场位置,r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 是源位置,ρ ( r ′ ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')} 是在源位置r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 的电荷密度 ,d 3 r ′ {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '} 是微小体元素。
设定N {\displaystyle N} 个点电荷 ,则电荷密度是N {\displaystyle N} 个狄拉克δ函数 的总和:
ρ ( r ′ ) = ∑ i = 1 N q i δ ( r ′ − r i ′ ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{i}')} ;其中,r i ′ {\displaystyle \mathbf {r} _{i}'} 是点电荷q i {\displaystyle q_{i}} 的位置向量。
这些点电荷的电偶极矩为
p ( r ) = ∑ i = 1 N q i ∫ V ′ δ ( r ′ − r i ′ ) ( r ′ − r ) d 3 r ′ = ∑ i = 1 N q i ( r i ′ − r ) {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int _{\mathbb {V} '}\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{i}')\,(\mathbf {r} '-\mathbf {r} )\ d^{3}\mathbf {r} '=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}(\mathbf {r} _{i}'-\mathbf {r} )} 。对于两个同电量异性的电荷案例,标记正电荷与负电荷的位置分别为r + ′ {\displaystyle \mathbf {r} _{+}'} 、r − ′ {\displaystyle \mathbf {r} _{-}'} ,则电偶极矩为
p ( r ) = q ( r + ′ − r ) − q ( r − ′ − r ) = q ( r + ′ − r − ′ ) = q d {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}'-\mathbf {r} )-q(\mathbf {r} _{-}'-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}'-\mathbf {r} _{-}')=q\mathbf {d} } 。电偶极矩p ( r ) {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )} 与位移向量d {\displaystyle \mathbf {d} } 的方向相同,都是从负电荷指向正电荷。由于电偶极子是中性的,电偶极矩与观察者的参考点r {\displaystyle \mathbf {r} } 无关。
设定N {\displaystyle N} 个电偶极子 ,其电偶极矩分别为p i , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle \mathbf {p} _{i},\ i=1,2,\dots ,n} ,则这些电偶极子的总电偶极矩为
p ( r ) = ∑ i = 1 N p i {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {p} _{i}} 。由于每一个电偶极子都是中性的,整个系统也是中性的。因此,总电偶极矩与观察者的参考点r {\displaystyle \mathbf {r} } 无关。
当论述像质子 、电子 一类的非中性系统时,会出现电偶极矩与参考点有关的问题。对于这些案例,常规是选择系统的质心 为参考点,而不是任意点[1] 。电量中心似乎是比较合理的参考点,但是这会造成电偶极矩等于零的结果 。选择质心为参考点可以保证电偶极矩是系统的一个内禀性质 (intrinsic property )。
电偶极子产生的电势与电场
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物理电偶极子跟场位置之间的距离关系。 如右图所示,设定正电荷+ q {\displaystyle {+}q} 与负电荷− q {\displaystyle {-}q} 的位置分别为r + = ( 0 , 0 , d / 2 ) {\displaystyle \mathbf {r} _{+}=(0,0,d/2)} 、r − = ( 0 , 0 , − d / 2 ) {\displaystyle \mathbf {r} _{-}=(0,0,-d/2)} ,则在场位置r {\displaystyle \mathbf {r} } 的电势 ϕ {\displaystyle \phi } 为
ϕ ( r ) = q 4 π ε 0 r + − q 4 π ε 0 r − {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r_{+}}}-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r_{-}}}} 。应用余弦定理 ,假设场位置离电偶极子足够远,d / 2 ≪ r {\displaystyle d/2\ll r} ,则1 / r + {\displaystyle 1/r_{+}} 、1 / r − {\displaystyle 1/r_{-}} \可以分别近似为
1 r ± = ( r 2 + d 2 4 ∓ r d cos θ ) − 1 / 2 = 1 r ( 1 + d 2 4 r 2 ∓ d cos θ r ) − 1 / 2 ≈ 1 r ( 1 ± d cos θ 2 r ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r_{\pm }}}&=\left(r^{2}+{\frac {d^{2}}{4}}\mp rd\cos {\theta }\right)^{-1/2}={\frac {1}{r}}\left(1+{\frac {d^{2}}{4r^{2}}}\mp {\frac {d\cos {\theta }}{r}}\right)^{-1/2}\\&\approx {\frac {1}{r}}\left(1\pm {\frac {d\cos {\theta }}{2r}}\right)\\\end{aligned}}} 。 将这两个公式代入电势的方程,可以得到
ϕ ( r ) ≈ q d cos θ 4 π ε 0 r 2 {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )\approx {\frac {qd\cos {\theta }}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}} 。设定电偶极矩p {\displaystyle \mathbf {p} } 为
p = q r + − q r − = q d {\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {r} _{+}-q\mathbf {r} _{-}=q\mathbf {d} } ;其中,d {\displaystyle \mathbf {d} } 是从负电荷指至正电荷的位移向量。
则电势以向量标记为
ϕ ( r ) = 1 4 π ε 0 p ⋅ r ^ r 2 {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}} 。电偶极子的电势随着距离平方递减;而单独电荷是随着距离的一次方递减。所以电偶极子的电势递减速度比单独电荷快很多。
电偶极子的电场是电势的负梯度 。采用球坐标 ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ,电场E {\displaystyle \mathbf {E} } 的三个分量E r {\displaystyle E_{r}} 、E θ {\displaystyle E_{\theta }} 、E φ {\displaystyle E_{\varphi }} 分别为
E r = − ∂ ϕ ( r ) ∂ r = p cos θ 2 π ε 0 r 3 {\displaystyle E_{r}=-\ {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} )}{\partial r}}={\frac {p\cos {\theta }}{2\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}} 、
E θ = − 1 r ∂ ϕ ( r ) ∂ θ = p sin θ 4 π ε 0 r 3 {\displaystyle E_{\theta }=-\ {\frac {1}{r}}\ {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} )}{\partial \theta }}={\frac {p\sin {\theta }}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}} 、
E φ = − 1 r sin θ ∂ ϕ ( r ) ∂ φ = 0 {\displaystyle E_{\varphi }=-\ {\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial \phi (\mathbf {r} )}{\partial \varphi }}=0} ;或者,以向量表示为
E = p ( 2 cos θ r ^ + sin θ θ ^ ) 4 π ε 0 r 3 = 3 ( p ⋅ r ^ ) r ^ − p 4 π ε 0 r 3 {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {p(2\cos {\theta }\ {\hat {\mathbf {r} }}+\sin {\theta }\ {\hat {\boldsymbol {\theta }}})}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}={\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}} 。注意到这个方程并不完全正确,这是因为电偶极子的电势有一个奇点 在它所处的位置(原点O {\displaystyle \mathbf {O} } )。更仔细地推导,可以得到电场为[2]
E = − ∇ Φ = 1 4 π ϵ 0 r 3 ( 3 ( p ⋅ r ^ ) r ^ − p ) − p 3 ϵ 0 δ 3 ( r ) = p 4 π ϵ 0 r 3 ( 2 cos θ r ^ + sin θ θ ^ ) − p 3 ϵ 0 δ 3 ( r ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} =-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\end{aligned}}} ; 其中,δ 3 ( r ) {\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )} 是三维狄拉克δ函数
更详尽细节,请参阅偶极子 。
电偶极矩密度与电极化强度
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介电质内部的自由电荷与束缚电荷
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束缚电荷是束缚于介电质内部某微观区域的电荷。这微观区域指的是像原子或分子一类的区域。自由电荷是不束缚于介电质内部某微观区域的电荷。电极化会稍微改变物质内部的束缚电荷的位置,虽然这束缚电荷仍旧束缚于原先的微观区域,这形成一种不同的电荷密度 ,称为“束缚电荷密度”ρ b o u n d {\displaystyle \rho _{bound}} :
ρ b o u n d = − ∇ ⋅ P {\displaystyle \rho _{bound}=-\nabla \cdot \mathbf {P} } 。总电荷密度ρ t o t a l {\displaystyle \rho _{total}} 是“自由电荷密度”ρ f r e e {\displaystyle \rho _{free}} 与束缚电荷密度的总和:
ρ t o t a l = ρ f r e e + ρ b o u n d {\displaystyle \rho _{total}=\rho _{free}+\rho _{bound}} 。在介电质的表面,束缚电荷以表面电荷的形式存在,其表面密度称为“面束缚电荷密度”σ b o u n d {\displaystyle \sigma _{bound}} :
σ b o u n d = P ⋅ n ^ o u t {\displaystyle \sigma _{bound}=\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{\mathrm {out} }} ;其中,n ^ o u t {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}_{\mathrm {out} }\,} 是从介电质表面往外指的法向量 。假若,介电质内部的电极化强度是均匀的,P {\displaystyle \mathbf {P} } 是个常数向量,则这介电质所有的束缚电荷都是面束缚电荷。
高斯定律 表明,电场的散度 等于总电荷密度 ρ t o t a l {\displaystyle \rho _{total}} 除以电常数:
∇ ⋅ E = ρ t o t a l / ϵ 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{total}/\epsilon _{0}} 。电极化强度的散度等于负束缚电荷密度 :
∇ ⋅ P = − ρ b o u n d {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{bound}} 。电位移 D {\displaystyle \mathbf {D} } 以方程定义为
D = d e f ϵ 0 E + P {\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} } ;所以,电位移的散度 等于自由电荷密度ρ f r e e {\displaystyle \rho _{free}} :
∇ ⋅ D = ρ f r e e {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{free}} 。介电质产生的电势
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假设一介电质拥有自由电荷密度ρ f r e e ( r ′ ) {\displaystyle \rho _{free}(\mathbf {r} ')} 、电偶极矩密度p ( r ′ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')} 、电四极矩密度Q ( r ′ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {Q}}}(\mathbf {r} ')} 等等,平滑地分布于区域V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} ,则其电势为[3]
ϕ ( r ) = 1 4 π ε 0 ∫ V ′ [ ρ f r e e ( r ′ ) | r − r ′ | + p ( r ′ ) ⋅ ( r − r ′ ) | r − r ′ | 3 + ∑ i , j = 1 3 Q i j ( r ′ ) ( x i − x i ′ ) ( x j − x j ′ ) 2 | r − r ′ | 5 … ] d 3 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\rho _{free}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {{\mathfrak {Q}}_{ij}(\mathbf {r} ')(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{2|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{5}}}\dots \right]\ d^{3}\mathbf {r} '} ;其中,x 1 {\displaystyle x_{1}} 、x 2 {\displaystyle x_{2}} 、x 3 {\displaystyle x_{3}} 是r {\displaystyle \mathbf {r} } 的三个直角坐标 。
为了方便运算,只取至电偶极矩密度项目,
ϕ ( r ) = 1 4 π ε 0 ∫ V ′ [ ρ f r e e ( r ′ ) | r − r ′ | + p ( r ′ ) ⋅ ( r − r ′ ) | r − r ′ | 3 ] d 3 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\rho _{free}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right]\ d^{3}\mathbf {r} '} 。应用向量恒等式 与分部积分法 ,带单撇号的梯度 符号表示对于源位置的偏微分,
∇ ′ ( 1 | r − r ′ | ) = r − r ′ | r − r ′ | 3 {\displaystyle \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}} ,积分方程的右手边第二个项目变为
∫ V ′ p ( r ′ ) ⋅ ( r − r ′ ) | r − r ′ | 3 d 3 r ′ = ∫ V ′ p ( r ′ ) ⋅ ∇ ′ ( 1 | r − r ′ | ) d 3 r ′ = ∫ V ′ ∇ ′ ⋅ ( p ( r ′ ) | r − r ′ | ) d 3 r ′ − ∫ V ′ ∇ ′ ⋅ p ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ d^{3}\mathbf {r} '&=\int _{\mathbb {V} '}{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ d^{3}\mathbf {r} '\\&=\int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot \left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ d^{3}\mathbf {r} '-\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\nabla '\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\end{aligned}}} 。 应用散度定理 ,
∫ V ′ ∇ ′ ⋅ ( p ( r ′ ) | r − r ′ | ) d 3 r ′ = ∮ S ′ ( p ( r ′ ) | r − r ′ | ) ⋅ d a ′ {\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot \left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ d^{3}\mathbf {r} '=\oint _{\mathbb {S} '}\left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\cdot \ d\mathbf {a} '} 。假设区域V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 变为无穷大,则其闭曲面S ′ {\displaystyle \mathbb {S} '} 的积分项目趋向于零,所以,
ϕ ( r ) = 1 4 π ε 0 ∫ V ′ [ ρ f r e e ( r ′ ) | r − r ′ | − ∇ ′ ⋅ p ( r ′ ) | r − r ′ | ] d 3 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\rho _{free}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-\ {\frac {\nabla '\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]\ d^{3}\mathbf {r} '} 。注意到电势乃是由总电荷决定:
ϕ ( r ) = 1 4 π ε 0 ∫ V ′ ρ t o t a l ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho _{total}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '} 。由于积分于任意体积,以下全等式成立(由于不会造成歧义,可以不使用单撇号):
ρ t o t a l = ρ f r e e + ∇ ⋅ p ( r ) {\displaystyle \rho _{total}=\rho _{free}+\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} )} 。因此,束缚电荷密度与电偶极矩密度的关系为
ρ b o u n d = − ∇ ⋅ p {\displaystyle \rho _{bound}=-\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}} 。设定电极化强度为电偶极矩密度[4] :P = p {\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}} ,则
∇ ⋅ P = − ρ b o u n d {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{bound}} 。类似地,可以将电四极矩密度项目加入为电极化强度的一部分。例如,在计算电磁波 的散射 于介电质时,电荷、电偶极子、电多极子等等,这些实体会各自不同地散射电磁波,因此,可能需要使用比电偶极矩近似法更加精确的方法[5] 。
面束缚电荷密度
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均匀电偶极子分布会造成面束缚电荷的出现。简图上方的蓝色粗线表示负性面电荷;下方的红色粗线表示正性面电荷。 前面论述做了一个假设,即区域V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 变为无穷大。这假设促使闭曲面S ′ {\displaystyle \mathbb {S} '} 的积分项目趋向于零;倘若不作这假设,倘若区域V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 的体积为有限尺寸,则闭曲面S ′ {\displaystyle \mathbb {S} '} 的积分项目会展示出面束缚电荷。如右图所示,电偶极子均匀地分布于区域内部,每一个电偶极子的矢头(正电荷)与矢尾(负电荷)会互相抵消。但是,在这区域的闭曲面,矢头与矢尾无法互相抵消,电偶极子的矢头形成了正性面电荷,而矢尾形成了负性面电荷。这两组异性面电荷会产生电场,其方向与电偶极矩的方向相反。
假设自由电荷密度为零,电极化强度为电偶极矩密度,则电势以方程表示为
ϕ ( r ) = 1 4 π ε 0 ∫ V ′ p ( r ′ ) ⋅ ( r − r ′ ) | r − r ′ | 3 d 3 r ′ = 1 4 π ε 0 ∮ S ′ ( p ( r ′ ) | r − r ′ | ) ⋅ d a ′ − 1 4 π ε 0 ∫ V ′ ∇ ′ ⋅ p ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} '}\left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\cdot \ d\mathbf {a} '-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\nabla '\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\end{aligned}}} 。 设定束缚电荷密度为
σ b o u n d = p ⋅ n ^ {\displaystyle \sigma _{bound}={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}} ;其中,n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 是闭曲面S ′ {\displaystyle \mathbb {S} '} 的法向量 ,从S ′ {\displaystyle \mathbb {S} '} 往外指出。
那么,在区域V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 内的电偶极子分布所产生的电势,可以视为是由体束缚电荷密度ρ b o u n d {\displaystyle \rho _{bound}} 与面束缚电荷密度σ b o u n d {\displaystyle \sigma _{bound}} 共同产生:
ϕ ( r ) = 1 4 π ε 0 ∮ S ′ σ b o u n d ( r ′ ) | r − r ′ | d a ′ + 1 4 π ε 0 ∫ V ′ ρ b o u n d ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} '}{\frac {\sigma _{bound}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ da'+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho _{bound}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '} 。范例:处于均匀外电场的介电质球
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假设介电质球的相对电容率 大于四周环境的电极化率,当施加均匀外电场后,电位移 场线展示出的图样[6] 。 思考处于均匀外电场E ∞ = E ∞ z ^ {\displaystyle \mathbf {E} _{\infty }=E_{\infty }{\hat {\mathbf {z} }}} 的一个线性均匀介电质球,其相对电容率 为ϵ r {\displaystyle \epsilon _{r}} 。采用球坐标系 ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} ,则对于方位角 对称系统,拉普拉斯方程 的一般解为
ϕ ( r , θ ) = ∑ l = 0 ∞ ( A l r l + B l r − ( l + 1 ) ) P l ( cos θ ) {\displaystyle \phi (r,\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }(A_{l}\ r^{l}+B_{l}\ r^{-(l+1)})P_{l}(\cos {\theta })} ;其中,A l ( cos θ ) {\displaystyle A_{l}(\cos {\theta })} 是系数,P l ( cos θ ) {\displaystyle P_{l}(\cos {\theta })} 是勒让德多项式 。
设定球坐标系的原点 与介电质球的球心同位置,在球内部,不容许r − ( l + 1 ) {\displaystyle r^{-(l+1)}} 项目存在,否则,在球心位置,电势会发散 ,所以,
ϕ i n ( r , θ ) = ∑ l = 0 ∞ A l r l P l ( cos θ ) {\displaystyle \phi _{in}(r,\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }A_{l}\ r^{l}P_{l}(\cos {\theta })} 。在球外部,当r {\displaystyle r} 超大于球半径R {\displaystyle R} 时,外电场项目是主要项目,其它项目都趋向于零,因此电势趋向于− E ∞ r cos θ {\displaystyle -E_{\infty }r\cos {\theta }} ,所以,
ϕ o u t ( r , θ ) = − E ∞ r cos θ + ∑ l = 0 ∞ B l r − ( l + 1 ) P l ( cos θ ) {\displaystyle \phi _{out}(r,\theta )=-E_{\infty }r\cos {\theta }+\sum _{l=0}^{\infty }B_{l}r^{-(l+1)}P_{l}(\cos {\theta })} 。在球表面,两电势函数必需满足以下边界条件:
ϕ i n ( R , θ ) = ϕ o u t ( R , θ ) {\displaystyle \phi _{in}(R,\theta )=\phi _{out}(R,\theta )} 、
ϵ r ∂ ϕ i n ( r , θ ) ∂ r | r = R = ∂ ϕ o u t ( r , θ ) ∂ r | r = R {\displaystyle \epsilon _{r}\left.{\frac {\partial \phi _{in}(r,\theta )}{\partial r}}\right|_{r=R}=\left.{\frac {\partial \phi _{out}(r,\theta )}{\partial r}}\right|_{r=R}} 。匹配P l ( cos θ ) {\displaystyle P_{l}(\cos {\theta })} 相同的项目,第一个边界条件导致
A 1 R = − E ∞ R + B 1 R − 2 {\displaystyle A_{1}R=-E_{\infty }R+B_{1}R^{-2}} 、
A l R l = B l R − ( l + 1 ) , l ≠ 1 {\displaystyle A_{l}R^{l}=B_{l}R^{-(l+1)},\qquad \qquad l\neq 1} ;第二个边界条件导致
ϵ r A 1 = − E ∞ − 2 B 1 R − 3 {\displaystyle \epsilon _{r}A_{1}=-E_{\infty }-2B_{1}R^{-3}} 、
ϵ r l A l R ( l − 1 ) = − ( l + 1 ) B l R − ( l + 2 ) , l ≠ 1 {\displaystyle \epsilon _{r}lA_{l}R^{(l-1)}=-(l+1)B_{l}R^{-(l+2)},\qquad \qquad l\neq 1} 。从这些方程,经过一番运算,可以得到
A 1 = − 3 E ∞ ϵ r + 2 {\displaystyle A_{1}=-\ {\frac {3E_{\infty }}{\epsilon _{r}+2}}} 、
B 1 = ( ϵ r − 1 ) R 3 E ∞ ϵ r + 2 {\displaystyle B_{1}={\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}E_{\infty }}{\epsilon _{r}+2}}} ;其它系数都等于零:
A l = B l = 0 , l ≠ 1 {\displaystyle A_{l}=B_{l}=0,\qquad \qquad l\neq 1} 。所以,在球外部,电势为
ϕ o u t ( r , θ ) = − E ∞ r cos θ + ( ϵ r − 1 ) R 3 E ∞ cos θ ( ϵ r + 2 ) r 2 {\displaystyle \phi _{out}(r,\theta )=-E_{\infty }r\cos {\theta }+{\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}E_{\infty }\cos {\theta }}{(\epsilon _{r}+2)r^{2}}}} 。这等价于外电场E ∞ {\displaystyle \mathbf {E} _{\infty }} 与电偶极矩p = 4 π ϵ 0 ( ( ϵ r − 1 ) R 3 ϵ r + 2 ) E ∞ {\displaystyle \mathbf {p} =4\pi \epsilon _{0}\left({\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }} 所共同产生的电势,或者,外电场与电偶极矩密度p = p V = 3 ϵ 0 ( ϵ r − 1 ϵ r + 2 ) E ∞ {\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}={\frac {\mathbf {p} }{V}}=3\epsilon _{0}\left({\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }} 、半径为R {\displaystyle R} 的介电质球所共同产生的电势。
因子 ϵ r − 1 ϵ r + 2 {\displaystyle {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}} 称为克劳修斯-莫索提因子 。这因子显示出,假若ϵ r < 1 {\displaystyle \epsilon _{r}<1} ,则感应电极化强度会改变正负号 。当然,实际上,由于介电质的ϵ r ≥ 1 {\displaystyle \epsilon _{r}\geq 1} ,这状况永远不会发生。但是,假设这介电质球含有两种不同的介电质,ϵ r {\displaystyle \epsilon _{r}} 会被替代为内层与外层的相对电容率的比例,而这比例有可能大于或小于1。
在球内部,电势为
ϕ i n ( r , θ ) = − 3 ϵ r + 2 E ∞ r cos θ {\displaystyle \phi _{in}(r,\theta )=-{\frac {3}{\epsilon _{r}+2}}E_{\infty }r\cos {\theta }} 。电场为
E i n = − ∇ ϕ i n ( r , θ ) = 3 ϵ r + 2 E ∞ = ( 1 − ϵ r − 1 ϵ r + 2 ) E ∞ {\displaystyle \mathbf {E} _{in}=-\nabla \phi _{in}(r,\theta )={\frac {3}{\epsilon _{r}+2}}\mathbf {E} _{\infty }=\left(1-\ {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }} 。这显示出电偶极子的“去电极化效应”,所产生的去极化场E p {\displaystyle \mathbf {E} _{p}} 为
E p = E i n − E ∞ = − ( ϵ r − 1 ϵ r + 2 ) E ∞ = − p 3 ϵ 0 {\displaystyle \mathbf {E} _{p}=\mathbf {E} _{in}-\mathbf {E} _{\infty }=-\ \left({\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }=-{\frac {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}{3\epsilon _{0}}}} 。注意到在介电质球内部,电场具有均匀性,并且与外电场平行。电场与电偶极矩密度的关系为
p = ϵ 0 ( ϵ r − 1 ) E i n {\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}=\epsilon _{0}(\epsilon _{r}-1)\mathbf {E} _{in}} ;电偶极矩密度也是均匀的,所以,体束缚电荷密度为零:
ρ b o u n d = − ∇ ⋅ p = 0 {\displaystyle \rho _{bound}=-\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}=0} 。在介电质球表面,面束缚电荷密度是内外两电场的径向分量的差值,或电偶极矩密度与径向单位向量的内积:
σ b o u n d = 3 ε 0 ϵ r − 1 ϵ r + 2 E ∞ cos θ = p ⋅ r ^ {\displaystyle \sigma _{bound}={3}\varepsilon _{0}{\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}E_{\infty }\cos {\theta }={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}} 。 基本粒子的电偶极矩
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近期,有很多实验研究专注于测量基本粒子 和复合粒子的电偶极矩,这包括电子 、中子 、μ子 、τ子 、水银 等等。这是一项非常热门的题目,电偶极矩的存在违反了宇称 对称性(P)与时间反演对称 性(time reversal symmetry )(T)[注 1] 。假定CPT对称性 (CPT symmetry )正确无误,则由于时间破坏,电偶极矩数值会给出一个大自然CP破坏 的衡量,并且这衡量与理论模型几乎无关。因此,电偶极矩数值给CP破坏的尺寸设定了強約束;粒子物理学 的标准模型 的任何延伸都必需遵守这強約束。
因为不符合这越来越严格的电偶极矩上限,很多理论实际已被否定[7] 。换另一方面思考,已确立的理论——量子色动力学 ——所允许的电偶极矩数值比限制大了许多;这导致出强CP问题 (strong CP problem ):为什么似乎量子色动力学并没有摧毁CP对称性 ?这也促使物理学者积极地寻找像轴子 一类的新粒子[8] 。
物理学者精心设计的最新一代实验对于电偶极矩的超对称 值域具有高灵敏度;这与正在大型强子对撞机 进行的实验相辅互成[9] [10] 。
对于各种粒子的电偶极矩,现在最准确的估计为
中子:| p n | < 2.9 × 10 − 26 e c m ( 90 % C . L . ) {\displaystyle |p_{n}|<2.9\times 10^{-26}\ e\ \mathrm {cm} \ (90\%C.L.)} [11] 、
电子:| p e | < 1.05 × 10 − 27 e c m ( 90 % C . L . ) {\displaystyle |p_{e}|<1.05\times 10^{-27}\ e\ \mathrm {cm} \ (90\%C.L.)} [12] 、
水银 :| p H g | < 3.1 × 10 − 29 e c m ( 95 % C . L . ) {\displaystyle |p_{Hg}|<3.1\times 10^{-29}\ e\ \mathrm {cm} \ (95\%C.L.)} [13] 。
由于内禀电偶极矩而产生的宇称(P)破坏和时间反演(T)破坏。 假设基本粒子拥有内禀电偶极矩,则宇称 (P)和时间反演对称性 (T)都会被破坏。举例而言,思考中子的磁偶极矩 和假定的电偶极矩,这两种向量的方向必需相同。但是,时间反演会逆反磁偶极矩的方向,不会改变电偶极矩的方向[注 2] ;空间反演(宇称)会逆反电偶极矩的方向,不会改变磁偶极矩的方向[注 3]
。电偶极矩的存在破坏了这些对称性。假定CPT对称性正确无误,则时间反演破坏也促使CP对称性被破坏。
标准模型的预测
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按照前面论述,为了营造有限值电偶极矩,必需先存在有破坏CP对称性的理论程序。实验者已经在弱相互作用 的实验中观测到CP破坏,也已经能够用标准模型的卡比博-小林-益川矩阵 中的CP破坏相位 来解释CP破坏。但是,这解释所获得的CP破坏数值非常微小,因此对于电偶极矩的贡献也微乎其微:| p n | ∼ 10 − 32 e c m {\displaystyle |p_{n}|\sim 10^{-32}\ e\ \mathrm {cm} } [14] 。远远低于现在最精密实验所能测量到的数值。电偶极矩实验可以用来核对很多从标准模型延伸的崭新理论,例如如最小超对称标准模型 (minimal supersymmetric standard model )、左右对称模型 (left-right symmetric model )等等。这些理论估计的电偶极矩数值在可核对值域内。
^ 在粒子物理学 里,有三种重要的离散 对称性:电荷共轭对称性是粒子与其反粒子的对称性,又称“正反共轭对称性”。宇称对称性是关于粒子位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 与 − r {\displaystyle -\mathbf {r} } 的对称性,时间反演对称性是时间 t {\displaystyle t} 与 − t {\displaystyle -t} 的对称性。
^ 时间反演变换将 t {\displaystyle t} 改变为 − t {\displaystyle -t} 。一个载流循环的磁偶极矩 μ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}} 是其所载电流 I {\displaystyle I} 乘于循环面积 a {\displaystyle \mathbf {a} } ,以方程表示为 μ = I a = d q d t a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}\mathbf {a} } 。注意到电流是电荷量对于时间的导数,所以,时间反演会逆反磁偶极矩的方向。电偶磁矩的两个参数,电荷量和位移向量都跟时间反演无关,所以,时间反演不会改变电偶极矩的方向。
^ 空间反演(宇称)变换是粒子位置坐标对于参考系原点的反射 。电偶极矩是极向量 (polar vector ),而磁偶极矩是轴向量 (axial vector ),所以,空间反演(宇称)会逆反电偶极矩的方向,不会改变磁偶极矩的方向。
参考文献
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外部链接
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