电势能

在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

在静电学里，电势能（electric potential energy）是处于电场的电荷分布所具有的势能，与电荷分布在系统内部的组态有关。电势能的单位是焦耳。电势能与电势不同。电势定义为处于电场的电荷所具有的电势能每单位电荷。电势的单位是伏特。

电势能的数值不具有绝对意义，只具有相对意义。所以，必须先设定一个电势能为零的参考系统。当物理系统内的每一个点电荷相距无穷远且其相对静止不动时，这一物理系统通常可以设定为电势能等于零的参考系统。假设一个物理系统里的每一个点电荷，从无穷远处被一外力匀速地迁移到其所在位置，该外力做的总机械功为 $W$ ，则定义这系统的电势能 $U$ 为

$U:=W$ 。

在这过程里，所涉及的机械功 $W$ ，不论是正值或负值，都由这物理系统之外的机制赋予。并且，被匀速迁移的每一个点电荷都不会获得任何动能。

如此计算电势能，并没有考虑到移动的路径，这是因为电场是保守场，电势能只跟初始位置与终止位置有关，与路径无关。

计算电势能

在一个物理系统内，计算一个点电荷所具有的电势能的方法，就是计算将这点电荷Q从无穷远位置迁移到其它固定位置电荷附近所需要做的机械功。而计算只需要两个参数：

1. 其它电荷所产生的电势。
2. 点电荷Q的电荷量。

注意：这里的计算不需要知道其它电荷的电荷量，也不需要知道这一点电荷Q所产生的电势。

储存于点电荷系统内的电势能

单点电荷系统

只拥有单独一个点电荷的物理系统，其电势能为零，因为没有任何其它可以产生电场的源电荷，所以，将点电荷从无穷远移动至其最终位置，外机制不需要对它做任何机械功。特别注意，这点电荷有可能会与自己生成的电场发生作用。然而，由于在点电荷的位置，它自己生成的电场为无穷大，所以，在计算系统的有限总电势能之时，一般刻意不将这“自身能”纳入考量范围之内，以简化物理模型，方便计算。

双点电荷系统

一个质子受到的另一个质子的电场力和电势能随 $r$ 变化的示意图。

思考两个点电荷所组成的物理系统。假设第一个点电荷 $q_{1}$ 的位置为坐标系的原点 $\mathbf {O}$ ，则根据库仑定律，点电荷 $q_{1}$ 施加于位置为 $\mathbf {r}$ 的第二个点电荷 $q_{2}$ 的电场力为

$\mathbf {F} _{c}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}$ ；

其中，$\epsilon _{0}$ 是电常数。

在移动点电荷 $q_{2}$ 时，为保证匀速，外机制必须施加作用力 $-\mathbf {F} _{c}$ 于点电荷 $q_{2}$ ，从而与电场力达到二力平衡。所以，机械功 $W$ 为

$W=-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {F} _{c}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-\ {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {L} }{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ 。

由于库仑力为保守力，机械功与积分路径 $\mathbb {L}$ 无关，所以，可以选择任意一条积分路径。在这里，最简单的路径为从无穷远位置朝着 $-{\hat {\mathbf {r} }}$ 方向迁移至 $\mathbf {r}$ 位置的直线路径。那么，机械功为

$W=-\ {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\infty }^{r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$ 。

这机械功是无穷远位置与 $\mathbf {r}$ 位置之间的静电能差别：

$W=U(\mathbf {r} )-U(\infty )$ 。

设定 $U(\infty )=0$ ，则

$U(\mathbf {r} )={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$ 。

现在，假设两个点电荷的位置分别为 $\mathbf {r} _{1}$ 、$\mathbf {r} _{2}$ ，则电势能为

$U={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q_{1}q_{2}}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q_{1}q_{2}}{r_{12}}}$ ；

其中，$r_{12}=|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|$ 是两个点电荷之间的距离。

假设两个点电荷的正负性相异，则电势能为负值，两个点电荷会互相吸引；否则，电势能为正值，两个点电荷会互相排斥。

三个以上点电荷的系统

对于三个点电荷的系统，外机制将其每一个单独点电荷，一个接着一个，从无穷远位置迁移至最终位置，所需要做的机械功，就是整个系统的静势能。以方程表示，

$U={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q_{1}q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {q_{1}q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {q_{2}q_{3}}{r_{23}}}\right)$ ；

其中，$q_{1},q_{2},q_{3}$ 为点电荷，$r_{ij}$ 为第i个与第j个点电荷之间的距离。

按照这方法演算，对于多个点电荷的系统，按照顺序，从第一个点电荷到最后一个点电荷，各自移动到最后对应位置。在第 $i$ 个点电荷 $q_{i}$ 迁移时，只会感受到从第 $1$ 个点电荷到第 $i-1$ 个点电荷的电场力，而机械功 $W_{i}$ 是因为抗拒这些电场力而做出的贡献：

$W_{i}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}$ 。

所有点电荷做出的总机械功（即总电势能）为

$U=W=\sum _{i=1}^{n}W_{i}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}$ 。

将每一个项目重复多计算一次，然后将总和除以 $2$ ，这公式也可以表达为，

$U={\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}$ 。

这样，可以忽略点电荷的迁移顺序。

注意到除了点电荷 $q_{i}$ 以外，所有其它点电荷产生的电势在位置 $\mathbf {r} _{i}$ 为

$\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}}$ 。

所以，离散点电荷系统的总电势能为

$U={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})$ 。

• 上述方程假设电介质是自由空间，其电容率为 $\epsilon _{0}$ ，即电常数。假设电介质不是自由空间，而是电容率为 $\epsilon$ 的某种电介质，则必需将方程内的 $\epsilon _{0}$ 更换为 $\epsilon$ 。

储存于连续电荷分布的能量

对于连续电荷分布，前面的电势能方程变为

$U={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r$ ；

其中，$\rho (\mathbf {r} )$ 是在源位置 $\mathbf {r}$ 的电荷密度，$\mathbb {V}$ 是积分体积。

应用高斯定律

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$ ;

其中，$\mathbf {E}$ 是电场。

电势能为

${\begin{aligned}U&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }[\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )]\phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r\\&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot [\mathbf {E} (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )]-\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r\\\end{aligned}}$ 。

应用散度定理，可以得到

$U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\oint _{\mathbb {S} }[\mathbf {E} (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )]\cdot \mathrm {d} ^{2}r-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r$ ；

其中，$\mathbb {S}$ 是包住积分体积 $\mathbb {V}$ 的闭曲面。

当积分体积 $\mathbb {V}$ 趋向于无限大时，闭曲面 $\mathbb {S}$ 的面积趋向于以变率 $r^{2}$ 递增，而电场、电势分别趋向于以变率 $1/r^{2}$ 、$1/r$ 递减，所以，上述方程左手边第一个面积分项目趋向于零，电势能变为

$U=-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}r$ 。

电场与电势的微分关系为

$\mathbf {E} =-\nabla \phi$ 。

将这方程代入，电势能变为

$U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }[E(\mathbf {r} )]^{2}\mathrm {d} ^{3}r$ 。

所以，电势能密度 $u$ 为

$u(\mathbf {r} )={\frac {\epsilon _{0}}{2}}[E(\mathbf {r} )]^{2}$ 。

自身能与相互作用能

前面分别推导出两个电势能方程：

$U={\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}$ 。

$U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }[E(\mathbf {r} )]^{2}\mathrm {d} ^{3}r$ 。

注意到第一个方程计算得到的电势能，可以是正值，也可以是负值；但从第一个方程推导出来的第二个方程，其计算得到的电势能则必定是正值。为什么会发生这不一致问题？原因是第一个方程只囊括了电荷与电荷之间的相互作用能；而第二个方程在推导过程中，无可避免地将电荷的自身能也包括在内。在推导第一个方程时，在位置 $\mathbf {r} _{i}$ 的电势乃是，除了 $q_{i}$ 以外，所有其它电荷共同贡献出的电势；而在推导第二个方程时，电势乃是所有电荷共同贡献出的电势。

举一个双点电荷案例，假设电荷 $q_{1}$ 、$q_{2}$ 的位置分别为 $\mathbf {r} _{1}$ 、$\mathbf {r} _{2}$ ，则在任意位置 $\mathbf {r}$ 的电场为

$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}={\frac {q_{1}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|^{3}}}+{\frac {q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|^{3}}}$ ，

其电势能密度为

$u={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}={\frac {\epsilon _{0}}{2}}(E_{1}\,^{2}+E_{2}\,^{2}+2\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2})$ 。

很明显地，这方程右手边的前两个项目分别为电荷 $q_{1}$ 、$q_{2}$ 的自身能密度 $\epsilon _{0}E_{1}\,^{2}/2$ 、$\epsilon _{0}E_{2}\,^{2}/2$ 。最后一个项目是否为相互作用能密度？为了回答这有意思的问题，继续计算相互作用能密度的体积积分：

$U_{int}=\int _{\mathbb {V} }u_{int}\ \mathrm {d} ^{3}r=\epsilon _{0}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\ \mathrm {d} ^{3}r={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|^{3}}}\ \cdot \ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}r$ 。

应用一条向量恒等式，

$\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-\ {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}$ ，

可以得到

${\begin{aligned}U_{int}&={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\right)\ \cdot \ \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\mathrm {d} ^{3}r\\&={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \ \cdot \ \left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]-\ \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\right)\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\mathrm {d} ^{3}r\\\end{aligned}}$ 。

应用散度定理，可以将这方程右手边第一个项目，从体积积分变为面积积分：

$\int _{\mathbb {V} }\nabla \ \cdot \ \left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]\mathrm {d} ^{3}r=\oint _{\mathbb {S} }\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]\cdot \mathrm {d} ^{2}r$ ；

其中，$\mathbb {S}$ 是包住积分体积 $\mathbb {V}$ 的闭曲面。

假设 $\mathbb {V}$ 趋向于无穷大空间，则这面积积分趋向于零。再应用一则关于狄拉克δ函数的向量恒等式

$\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')$ ，

可以得到

$U_{int}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }{\frac {\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\ \mathrm {d} ^{3}r={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q_{1}q_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}$ 。

这就是双点电荷系统的电势能。