韦达定理

在数学上，韦达定理（英语：Vieta's formulas），又称根与系数的关系，给出了多项式方程的根与系数的关系。该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达发现，并因此得名。

韦达定理常用于代数领域。它的实用之处在于，能够不用把根直接解出来就能计算根之间的关系。

内容

设 $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ 是一个一元 n 次实（或复）系数多项式，首项系数 $a_{n}\neq 0$，令 P 的 n 个根为 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$，则根 $\{x_{i}\}$和系数 $\{a_{j}\}$之间满足关系式

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}$

等价的说，对任何 k = 1, 2, ..., n，系数比 ${\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$ 是所有任取 k 个根的乘积的和的 $(-1)^{k}$ 倍，即

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$

其中 $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}$ 是要让所有的根的组合都恰好出现一次。

事实上，等号的左边被称作是初等对称多项式。

证明

因为 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 是一元 n 次多项式 $M(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ 的 n 个根。于是有

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})$

根据乘法原理展开右式，比较等号两边的各项系数可得

${\begin{cases}a_{n-1}=-a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})\\a_{n-2}=a_{n}\left((x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}\right)\\{}\quad \vdots \\a_{0}=(-1)^{n}a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}\end{cases}}$

上式等同于韦达定理的叙述。

特例

n=2

设 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次多项式 $ax^{2}+bx+c$ 的两根，则由$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}$有

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

这个特殊情况除之前提到的证明方法，也可以直接用求根公式即 $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$，$x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$证明：

$x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+\left(-b\right)-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}$

$x_{1}x_{2}={\frac {\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{\left(2a\right)^{2}}}={\frac {c}{a}}$

在这个情况下，韦达定理的逆定理同样成立：给定一个一元二次多项式 $ax^{2}+bx+c$，如果有两个数 $x_{1},x_{2}$，满足 $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$ 和 $\,x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$，则 $x_{1},x_{2}$就是多项式$\,ax^{2}+bx+c\,$的两根。

n=3

设 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 是一元三次多项式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 的三根，则

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}$

推广至环

韦达定理经常使用在讨论整环 R 上多项式，换言之多项式系数都落在 R 上。此时，分数 ${\frac {a_{i}}{a_{n}}}$ 在 R 中不见得有定义，除非 $a_{n}$ 本身是可逆元。但 ${\frac {a_{i}}{a_{n}}}$ 在 R 的分式环 K 中有定义，而根 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 则在 K 的代数闭包 ${\bar {K}}$ 中有定义。特别的，如果 R 是整数环 $\mathbb {Z}$，则 K 是有理数域 $\mathbb {Q}$，${\bar {K}}$是复数域 $\mathbb {C}$。

如果多项式 P(x) 定义在一般非整环的交换环上，则韦达定理可能在两个地方出错。第一，$a_{n}$ 可能不是零因子，因此不能出现在分母。第二 P(x) 可能不等于 $a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})$。第一点算是显而易见，以下给出一个第二点的例子。在环 $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ 中，多项式 $P(x)=x^{2}-1$ 有四个根 1、3、5、7，根数比多项式的次数还多。此外，如果随便取两根出来，例如 $x_{1}=1$，$x_{2}=3$，会发现 $P(x)\neq (x-1)(x-3)$，但是有时候如果根取的刚好，却又可能会有 $P(x)=(x-1)(x-7)$ 和 $P(x)=(x-3)(x-5)$。

历史

在 16 世纪，韦达发现了所有根都是正整数的版本，至于一般的版本 (根是实数)，可能首次由法国数学家 Albert Girard 提出。Funkhouser 引用了18 世纪英国数学家查尔斯·赫顿的话写道

...[Girard 是] 理解关于各次方项系数的和与积公式的一般性学说的第一人。他是找到关于将任意方程式的根的次方加总的规则的第一人。

参考资料

• Hazewinkel, Michiel (编), Viète theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Funkhouser, H. Gray, A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1930, 37 (7): 357–365, JSTOR 2299273, doi:10.2307/2299273 
• Vinberg, E. B., A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003, ISBN 0-8218-3413-4 

• Djukić, Dušan; et al, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6 

参见

• 法兰西斯·韦达
• 对称多项式
• 韦达跳跃
• 天元术