有理数

在数学中，我们将可以表为两个整数比值（${\frac {a}{b}}$，其中 $b\neq 0$）的数称作有理数（英语：rational number）。例如 ${\frac {3}{8}}$、0.75（即 ${\frac {3}{4}}$）均为有理数。由于每个整数 $n$ 均能写作 ${\frac {n}{1}}$，整数皆为有理数。

实数（ℝ）包括有理数（ℚ），其中包括整数（ℤ），其中包括自然数（ℕ）

不为有理数的实数称作无理数，如 ${\sqrt {2}}$ 即为无理数。

要注意并非所有以分数表示的数字皆为有理数（例如 ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 并不是有理数）。

所有有理数构成的集合常写作 $\mathbf {Q}$ 或 $\mathbb {Q}$，其定义为：

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}$

有理数写作小数时，为有限小数或无限循环小数。

词源

有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。

运算

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的（其中除法的除数不能为 0），亦即有理数加、减、乘、除有理数的结果仍为有理数。有理数的加法和乘法如下：

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

两个有理数 ${\frac {a}{b}}$ 和 ${\frac {c}{d}}$ 相等的充要条件为 $ad=bc$。

有理数中存在加法逆元与乘法逆元（除了 0 以外，0 不具乘法逆元）：

$-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0$时，$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}$

两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相乘。

古埃及分数

主条目：古埃及分数

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

${\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}$

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建

数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上$\left(a,b\right)$的等价类，这里$b,d$不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

$\left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)$

$\left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)$

为了使${\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$，定义等价关系$\sim$如下：

$\left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc$

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：$\mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim$。例如：两个对$(a,b)$和$(c,d)$是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

定义大小

Q上的大小可以定义为：

$\left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)$当且仅当下列任一条件成立：

1. $bd>0$并且$ad\leq bc$
2. $bd<0$并且$ad\geq bc$

然后$x<y$是指$x\leq y$但$y\nleq x$。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即：$a<b$当且仅当$b>a$。此排序中，每一对有理数$a,b$之间皆可比较，必有且仅有以下关系之一：

$a=b$，$a>b$，$a<b$。

又满足传递性：若$a<b$，且$b<c$，则$a<c$。所以以上定义的大小关系是全序关系。

有理数集的序还满足稠密性：若$a<b$，则必存在有理数$c$，满足$a<c$，且$c<b$。

性质

有理数集是可数的

集合$\mathbb {Q}$，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数$\mathbb {Z}$的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含$\mathbb {Q}$的一个拷贝（即存在一个从$\mathbb {Q}$到其中的同构映射）。

$\mathbb {Q}$的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是说$\mathbb {Q}$的基数（或势）与自然数集合$\mathbb {N}$相同，都是阿列夫数$\aleph _{0}$，这是因为可以定义一个从有理数集$\mathbb {Q}$映至自然数集合的笛卡尔积$\mathbb {N} \times \mathbb {N}$的单射函数，而$\mathbb {N} \times \mathbb {N}$是可数集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数的序是个稠密序：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理数集也没有最大和最小元素，所以是无端点的可数稠密全序（dense linear order without endpoints）。康托尔同构定理说明，任何无端点的可数稠密全序必定序同构于有理数的序，换言之，若不辨同构之异，则有理数的大小序是唯一具此性质的序结构。

实数

有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量$d\left(x,y\right)=|x-y|$，有理数构成一个度量空间，这是$\mathbb {Q}$上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是$\mathbb {Q}$的完备集。

p进数

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将$\mathbb {Q}$转化到拓扑域：

设$p$是素数，对任何非零整数$a$设$|a|_{p}=p^{-n}$，这里$p^{n}$是整除$a$的$p$的最高次幂；

另外$|0|_{p}=0$。对任何有理数${\frac {a}{b}}$，设$\left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}$。

则$d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}$在$\mathbb {Q}$上定义了一个度量。

度量空间$\left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)$不完备，它的完备集是p进数域$\mathbb {Q} _{p}$。

参见

• 浮点数
• 尼云定理