余式定理

多项式余式定理（英语：Polynomial remainder theorem）是指一个多项式$P(x)$除以一线性多项式$x-a$的余式是$P(a)$。

定义

我们可以一般化多项式余式定理。如果${\frac {P(x)}{M(x)}}$的商式是$Q(x)$、余式是$R(x)$，那么$P(x)=M(x)Q(x)+R(x)$。其中$R(x)$的次数会小于$M(x)$的次数。例如，${\frac {5x^{3}+4x^{2}-12x+1}{x-3}}$的余式是$5\cdot 3^{3}+4\cdot 3^{2}-12\cdot 3+1=136$。又可以说是把除式的零点代入被除式所得的值是余式。

至于除式为2次以上时，可将n次除式的$n$根$a,b,c,\cdots$列出联立方程：

$P(a)=R(a),P(b)=R(b),P(c)=R(c),\cdots$

其中$P$是被除式，$R$是余式。

此方法只可用在除式不是任一多项式的$n$次方。

推导

多项式余式定理可由多项式除法的定义导出.根据多项式除法的定义，设被除式为$f(x)$，除式为$g(x)$，商式为$q(x)$，余式为$r(x)$，则有：

$f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)$

如果$g(x)$是一次式$x-a$，则$r(x)$的次数小于一，因此，$r(x)$只能为常数，这时，余式也叫余数，记为$r$，即有：

$f(x)=(x-a)\cdot q(x)+r$

根据上式，当$x=a$时，有：

$f(a)=(a-a)\cdot q(a)+r=r$

因此，我们得到了余式定理：多项式$f(x)$除以$x-a$所得的余式等于$f(a)$。

参见

• 中国剩余定理