餘式定理

多項式餘式定理（英語：Polynomial remainder theorem）是指一個多項式$P(x)$除以一線性多項式$x-a$的餘式是$P(a)$。

定義

我們可以一般化多項式餘式定理。如果${\frac {P(x)}{M(x)}}$的商式是$Q(x)$、餘式是$R(x)$，那麼$P(x)=M(x)Q(x)+R(x)$。其中$R(x)$的次數會小於$M(x)$的次數。例如，${\frac {5x^{3}+4x^{2}-12x+1}{x-3}}$的餘式是$5\cdot 3^{3}+4\cdot 3^{2}-12\cdot 3+1=136$。又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。

至於除式為2次以上時，可將n次除式的$n$根$a,b,c,\cdots$列出聯立方程：

$P(a)=R(a),P(b)=R(b),P(c)=R(c),\cdots$

其中$P$是被除式，$R$是餘式。

此方法只可用在除式不是任一多項式的$n$次方。

推导

多項式餘式定理可由多項式除法的定義導出.根据多項式除法的定義，设被除式為$f(x)$，除式为$g(x)$，商式为$q(x)$，余式为$r(x)$，则有：

$f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)$

如果$g(x)$是一次式$x-a$，则$r(x)$的次数小于一，因此，$r(x)$只能为常数，这时，余式也叫余数，记为$r$，即有：

$f(x)=(x-a)\cdot q(x)+r$

根据上式，当$x=a$时，有：

$f(a)=(a-a)\cdot q(a)+r=r$

因此，我们得到了余式定理：多项式$f(x)$除以$x-a$所得的余式等于$f(a)$。

參見

• 中国剩余定理