魏尔施特拉斯判别法

魏尔施特拉斯判别法是一个类似于比较审敛法的判别法，可以用于判断函数项级数的收敛性。

假设$\{f_{n}\}$是定义在集合$A$内的一个实数或复数函数的数列，并存在正的常数$M_{n}$，使得

$|f_{n}(x)|\leq M_{n}$

对于所有的$n$≥$1$和$A$内所有的$x$。进一步假设级数

$\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$

收敛。那么级数

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

在$A$内一致收敛（常规意义下，以一致收敛的柯西逼近形式证明）。

如果函数$\{f_{n}\}$的陪域是任何一个巴拿赫空间，则魏尔施特拉斯判别法的一个更一般的形式仍然成立，但要把

$|f_{n}|\leq M_{n}$

换成

$||f_{n}||\leq M_{n}$,

其中$||\cdot ||$是巴拿赫空间的范数。 范数的选取方法与结果一般无关。

参考文献

• Rudin, Walter. Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. January 1991. ISBN 0-07-054236-8. 
• Rudin, Walter. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. May 1986. ISBN 0-07-054234-1. 
• Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.