魔方群

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在数学中,魔方群是一个 (G,·) 对应于集合G的所有魔方块正常转动可能形成的所有情形. 从完好魔方从发到任一种状态所经历的操作, 都与群元有一一对应的关系. [1][2].

魔方的所有可能重新排列形成一个群,叫做魔方群
群论


对于一个3阶标准魔方, 除去中心块外一共有48个色块, 因此一个魔方状态可以由1-48的某种排列表示, 但由于魔方本身的几何结构约束, 并不是所有的序号排列都是合法的魔方状态. 在这种表示下, 对魔方的一个操作可以表示成一个置换. 因此, 3阶魔方群是置换群的子群, 并满足和置换群相同的运算规则.

和置换群相同, 魔方群是一个非阿贝尔群, 对魔方的操作不满足交换律.

魔方操作

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一个3阶魔方包含 个面, 其中每个面有 个色块. 对魔方的一次原子级操作是将其中的某一个面顺时针旋转 , 分别记为 . 以右侧面为例, 逆时针旋转可以被记为 , 通常简记为 . 特别指出, 不对魔方进行任何操作的操作被记为 , 是3阶魔方群的单位元.

同构

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魔方群共有 个元素,与下方此群同构,当中 交错群 循环群

 

参考条目

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参考文献

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  1. ^ Joyner, David. Adventures in group theory: Rubik's Cube, Merlin's machine, and Other Mathematical Toys. Johns Hopkins University Press. 2002. ISBN 0-8018-6947-1. 
  2. ^ Davis, Tom. Group Theory via Rubik’s Cube (PDF). 2006 [2013-05-23]. (原始内容 (PDF)存档于2013-10-02).