黎曼级数定理

黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关于无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列后，重新排列后的级数收敛的值可以收敛到任何一个给定的值，甚至发散。

许多有限项级数具有的性质，在一般的无穷级数不一定满足，例如一般的有限项级数可以重新排列各项，其级数和不会改变，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各项而不改变收敛值。

相关定义

给定无穷级数$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$，其部分和为：$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$。如果部分和的数列

$\left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}$

收敛于某个数值：$\ell$，则级数收敛。也就是说，如果对于任何的$\epsilon >0$，总存在一个整数N，使得如果$n\geq N$，则

$\left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \epsilon$.

那么级数$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$收敛。如果级数$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$收敛，但级数$\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert$发散，则称此级数是条件收敛的。

定理的陈述

假设$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数$C$，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列$\sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)$，使得

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.$

此外，也存在另一种排列$\sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)$，使得

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .$

类似地，也可以有办法使它的部分和趋于$-\infty$，或没有任何极限。

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。

例子

交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子：

$A_{h}=\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

收敛，而

$S_{h}=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}$

是调和级数，它是发散的。虽然在标准的表示法中，交错调和级数收敛于ln(2)，我们可以把它的项重新排列，使它收敛于任何一个数，甚至发散。例如，如果排列为以下的形式，

$\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots$

那么这时的和等于$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}-{\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

可以看出，它的和是原来的和的一半。

趋近任一个实数

将交错调和级数重排趋向1.5的步骤：从1开始，将正项按顺序相加，直到超过1.5（红点处），然后加入负项，直到低于1.5（绿点），再开始累加正项……

用不同的排列方法，可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上，由于调和级数$\sum _{n}{\frac {1}{n}}$是发散的，它的部分和可以近似估计为：

$S_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\gamma +\ln N+o(1),$

其中$o(1)$表示一个当N趋于无穷大时的无穷小，$\gamma$指欧拉常数。如果将调和级数$A_{h}$中所有负项（也就是所有偶数项）相加，得到的级数会是：

$A_{h}^{-}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\cdots =-{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)$

它的部分和是：

$A_{N}^{-}=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2n}}=-{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\ln N+o(1),$

因此所有正项相加的级数$A_{h}^{+}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots$的部分和是：

$A_{N}^{+}=A_{N}-A_{N}^{-}=\ln 2+{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\ln N\right)+o(1),$

这也是一个发散级数，趋向正无穷。因此，对任意给定的正实数$C$，可以使用以下的算法来构造出趋向$C$的重排级数$A^{\sigma }$的每一项：

1. 从第一项起，将$A_{h}$中的正项（奇数项）从前往后放入，一直放到超过$C$为止：必定存在一个自然数$N_{1}$，使得$A_{N_{1}-1}^{+}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}$（假设$A_{0}=0$）。将第1至第$N_{1}$项定义为：

   $\forall k=1,2,\cdots ,N_{1},\,\,\sigma (k)=2k-1$

2. 从第$N_{1}+1$项开始，将$A_{h}$中的负项（偶数项）从前往后放入，一直放到小于$C$为止：必定存在一个自然数$N_{2}>N_{1}$，使得$A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}-1}^{-}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}}^{-}$。将第$N_{1}+1$至第$N_{2}$项定义为：

   $\forall k=N_{1}+1,N_{1}+2,\cdots ,N_{2},\,\,\sigma (k)=2k-2N_{1}$

交替重复这两步来重排级数，可以将重排级数的部分和$A_{N_{k}}^{\sigma }$保持在$C$上下，而因为$A_{N_{k}}^{\sigma }$是重复第k步时首次“跨过”$C$时候的值，因而它与$C$的差距必定不超过“跨越”时的“步长”，也就是${\frac {1}{N_{k}}}$。随着$N_{k}$越来越大，$A_{N_{k}}^{\sigma }$与$C$的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数$A^{\sigma }$最终会收敛于$C$。

证明

对一般的条件收敛级数，也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正项构成的级数发散到正无穷大，所有负项构成的级数发散到负无穷大，所以每次超出（低于）目标值$C$以后，只要不停地累加，必然能够再次低于（超出）目标值$C$；其次，调和级数是由${\frac {1}{n}}$相加而成，而随着$n$趋向无穷，${\frac {1}{n}}$趋向于0，也就是说“步长”趋向0，所以最终能够收敛。所以只需要证明，任何条件收敛级数都满足这两个性质：

1. 所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的；
2. 级数的项随着项数趋于无穷而趋于0.

就能证明黎曼级数定理成立了。

性质一：

设有给定的条件收敛级数$A=\sum _{n}a_{n}$，级数和为$S$。为了简便起见，假设$A$中每一项都不等于0（否则可以随意将它们重排在任何地方）。$A$中的正项和负项必定都有无穷多个。将$A$中所有大于0的项按照它们原来在$A$中的顺序重新标号排列，可以得到由所有正项排列而成的级数$A^{+}=\sum _{n}a_{n}^{+}$。同样可以建立由所有负项排列而成的级数$A^{-}=\sum _{n}a_{n}^{-}$。

$A^{+}$是一个正项级数，所以它要么收敛到某个定值，要么发散到正无穷大。假设$A^{+}$收敛到某个定值$S^{+}$，那么可以证明$A^{-}$也是收敛级数，级数和为$S-S^{+}$。因而可以证明，级数$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=A^{+}-A^{-}$也是收敛级数，这与$A$是条件收敛级数的设定矛盾。所以，$A^{+}$发散到正无穷大。同理可证，$A^{-}$发散到负无穷大。

性质二：

设$A=\sum _{n}a_{n}$是一个条件收敛的级数，级数和为$S$。这说明，级数$A$的部分和$S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}$趋向极限$S$。所以对任意$\epsilon >0$，存在自然数$M>0$使得对任意$N>M$，都有：

$|S_{N}-S|<\epsilon .$

所以对任意$N>M+1$，

$|a_{N}|=|S_{N}-S_{N-1}|\leqslant |S_{N}-S|+|S_{N-1}-S|<2\epsilon .$

这说明当$N$趋于无穷大时，$a_{N}$趋于0.

证明了性质一与性质二后，就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数$C$，不妨假设$C\geqslant 0$. 首先将$A^{+}$的项按顺序累加，直到部分和超过$C$为止，然后再将$A^{-}$的项按顺序累加在其后，直到部分和小于$C$为止，接着再将$A^{+}$剩余的项按顺序累加在其后，直到部分和超过$C$为止……这个算法可以一直进行下去，因为根据性质一，$A^{+}$和$A^{-}$都是发散的。而在执行算法的过程中，部分和与$C$会越来越接近。因为无论是在部分和低于$C$，逐项增加到超过$C$的过程中，还是在部分和超过了$C$，逐项减少到低于$C$的过程中，部分和与$C$的差距（绝对值）都不超过前一次“跨越”$C$值的那一刻，部分和与$C$的差距。而这个差距又小于等于部分和“跨越”$C$值时的“步长”。假设第$k$次“跨越”的是在累加第$N_{k}$项的时候发生的，那么直到第$k+1$次“跨越”时，部分和与$C$的差距都小于等于$a_{N_{k}}$。随着$k$趋于无穷大，$N_{k}$也趋于无穷大，因而根据性质二，$a_{N_{k}}$趋于0，也就是说部分和与$C$的差距趋于0。这等价于说重排后的级数$A^{\sigma }$收敛于$C$。

如果$C<0$，只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第$k$次累加正项要超越的值从$C$改为$C+k$，然后累加负项直到低于$C+k$，再开始第$k+1$次累加正项直到超越$C+k+1$，如此以往，就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1，将每次累加负项要低于的值设为0，那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动，从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。

推广

此定理可推广至斯坦尼兹定理。给定一个复数收敛级数∑ a_n，则重排后的级数∑ a_σ (n)之和有以下几种可能：

• 级数∑ a_n为绝对收敛，所以任何重排后的级数和都收敛到同一个值。
• 级数∑ a_n为条件收敛。令S为所有重排级数之和的集合，则S要不为整个复数平面C，要不为复数平面上C上的一条线L

$L=\{a+tb:t\in \mathbf {R} \},\quad a,b\in \mathbf {C} ,\ b\neq 0$

更一般的说，给定一个有限维度实向量空间E，考虑其向量组成的收敛级数，则重排级数之和的集合为E的仿射子空间。

参考来源

• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem（页面存档备份，存于互联网档案馆）. 于2005年5月16日访问。