黎曼級數定理

黎曼級數定理(亦稱黎曼重排定理),是一個有關於無窮級數性質的數學定理,得名於19世紀德國著名數學家波恩哈德·黎曼。黎曼級數定理說明,如果一個實數無窮級數若是條件收斂的,它的項在重新排列後,重新排列後的級數收斂的值可以收斂到任何一個給定的值,甚至發散

許多有限項級數具有的性質,在一般的無窮級數不一定滿足,例如一般的有限項級數可以重新排列各項,其級數和不會改變,但在無窮級數中,只有絕對收斂的無窮級數才可以重新排列各項而不改變收斂值。

相關定義

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給定無窮級數 ,其部分和為: 。如果部分和的數列

 

收斂於某個數值: ,則級數收斂。也就是說,如果對於任何的 ,總存在一個整數N,使得如果 ,則

 .

那麼級數 收斂。如果級數 收斂,但級數 發散,則稱此級數是條件收斂的。[1]:149

定理的陳述

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假設 是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數 ,都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列 ,使得

 

此外,也存在另一種排列 ,使得

 

類似地,也可以有辦法使它的部分和趨於 ,或沒有任何極限。[2]:192

反之,如果級數是絕對收斂的,那麼無論怎樣重排,它仍然會收斂到同一個值,也就是級數的和。[2]:193

例子

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交錯調和級數是條件收斂級數的一個經典的例子:

 

收斂,而

 

調和級數,它是發散的。雖然在標準的表示法中,交錯調和級數收斂於ln(2),我們可以把它的項重新排列,使它收斂於任何一個數,甚至發散。例如,如果排列為以下的形式,

 
那麼這時的和等於 

可以看出,它的和是原來的和的一半。[1]:153-154[3]:108-111

趨近任一個實數

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將交錯調和級數重排趨向1.5的步驟:從1開始,將正項按順序相加,直到超過1.5(紅點處),然後加入負項,直到低於1.5(綠點),再開始累加正項……

用不同的排列方法,可以讓交錯調和級數趨向任意一個給定的實數。事實上,由於調和級數 是發散的,它的部分和可以近似估計為:

 

其中 表示一個當N趨於無窮大時的無窮小 歐拉常數。如果將調和級數 中所有負項(也就是所有偶數項)相加,得到的級數會是:

 

它的部分和是:

 

因此所有正項相加的級數 的部分和是:

 

這也是一個發散級數,趨向正無窮。因此,對任意給定的正實數 ,可以使用以下的算法來構造出趨向 的重排級數 的每一項:

  1. 從第一項起,將 中的正項(奇數項)從前往後放入,一直放到超過 為止:必定存在一個自然數 ,使得 (假設 )。將第1至第 項定義為:
     
  2. 從第 項開始,將 中的負項(偶數項)從前往後放入,一直放到小於 為止:必定存在一個自然數 ,使得 。將第 至第 項定義為:
     

交替重複這兩步來重排級數,可以將重排級數的部分和 保持在 上下,而因為 是重複第k步時首次「跨過」 時候的值,因而它與 的差距必定不超過「跨越」時的「步長」,也就是 。隨着 越來越大,  的差距也會越來越趨近於0. 因此使用這個算法構造出來的重排級數 最終會收斂於 [3]:111-113

證明

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對一般的條件收斂級數,也可以用以上的算法來證明黎曼級數定理。上文中有關交錯調和級數的算法之所以成立,原因有二:首先,所有正項構成的級數發散到正無窮大,所有負項構成的級數發散到負無窮大,所以每次超出(低於)目標值 以後,只要不停地累加,必然能夠再次低於(超出)目標值 ;其次,調和級數是由 相加而成,而隨着 趨向無窮, 趨向於0,也就是說「步長」趨向0,所以最終能夠收斂。所以只需要證明,任何條件收斂級數都滿足這兩個性質:

  1. 所有正項構成的級數和所有負項構成的級數都是發散的;
  2. 級數的項隨着項數趨於無窮而趨於0.

就能證明黎曼級數定理成立了。

性質一

設有給定的條件收斂級數 ,級數和為 。為了簡便起見,假設 中每一項都不等於0(否則可以隨意將它們重排在任何地方)。 中的正項和負項必定都有無窮多個。將 中所有大於0的項按照它們原來在 中的順序重新標號排列,可以得到由所有正項排列而成的級數 。同樣可以建立由所有負項排列而成的級數 

 是一個正項級數,所以它要麼收斂到某個定值,要麼發散到正無窮大。假設 收斂到某個定值 ,那麼可以證明 也是收斂級數,級數和為 。因而可以證明,級數 也是收斂級數,這與 是條件收斂級數的設定矛盾。所以, 發散到正無窮大。同理可證, 發散到負無窮大。[1]:154-155

性質二

 是一個條件收斂的級數,級數和為 。這說明,級數 的部分和 趨向極限 。所以對任意 ,存在自然數 使得對任意 ,都有:

 

所以對任意 

 

這說明當 趨於無窮大時, 趨於0.

證明了性質一與性質二後,就可以用上文提到的算法構造趨向任何實數甚至發散的重排方式。對於任意實數 ,不妨假設 . 首先將 的項按順序累加,直到部分和超過 為止,然後再將 的項按順序累加在其後,直到部分和小於 為止,接着再將 剩餘的項按順序累加在其後,直到部分和超過 為止……這個算法可以一直進行下去,因為根據性質一,  都是發散的。而在執行算法的過程中,部分和與 會越來越接近。因為無論是在部分和低於 ,逐項增加到超過 的過程中,還是在部分和超過了 ,逐項減少到低於 的過程中,部分和與 的差距(絕對值)都不超過前一次「跨越」 值的那一刻,部分和與 的差距。而這個差距又小於等於部分和「跨越」 值時的「步長」。假設第 次「跨越」的是在累加第 項的時候發生的,那麼直到第 次「跨越」時,部分和與 的差距都小於等於 。隨着 趨於無窮大, 也趨於無窮大,因而根據性質二, 趨於0,也就是說部分和與 的差距趨於0。這等價於說重排後的級數 收斂於 

如果 ,只需要將算法中的正負項顛倒即可。如果將算法中第 次累加正項要超越的值從 改為 ,然後累加負項直到低於 ,再開始第 次累加正項直到超越 ,如此以往,就能得到發散到正無窮大的重排級數。反之也能得到發散到負無窮大的重排級數。而如果將算法中每次累加正項要超過的值設為1,將每次累加負項要低於的值設為0,那麼重排級數的值將在0和1左右上下反覆擺動,從而不收斂於任何定值。這就是黎曼級數定理。[2]:193-197[1]:154-156

推廣

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此定理可推廣至斯坦尼茲定理英語Lévy–Steinitz theorem。給定一個複數收斂級數∑ an,則重排後的級數∑ aσ (n)之和有以下幾種可能:

  • 級數∑ an為絕對收斂,所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
  • 級數∑ an為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合,則S要不為整個複數平面C,要不為複數平面上C上的一條線L
 

更一般的說,給定一個有限維度實向量空間E,考慮其向量組成的收斂級數,則重排級數之和的集合為E仿射子空間

參考來源

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927. 
  3. ^ 3.0 3.1 D. A. Brannan. A First Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press. 2006. ISBN 9781139458955.