B样条

在数学的子学科数值分析里，B-样条是样条曲线一种特殊的表示形式。它是B-样条基曲线的线性组合。B-样条是贝兹曲线的一种一般化，可以进一步推广为非均匀有理B样条（NURBS），使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。

De Boor算法是一个数值上稳定的计算B样条的方法。

术语 B样条是Isaac Jacob Schoenberg创造的，B 是基（basis）样条的缩略。

定义

给定m+1 个节点t_i ，分布在[0,1]区间，满足

$t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{m}$

一个n次B样条是一个参数曲线：

$\mathbf {S} :[0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$

它由n次B样条基(basis B-spline)组成

$\mathbf {S} (t)=\sum _{i=0}^{m}\mathbf {P} _{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]$.

P_i称为控制点或de Boor点. m+1个n次B样条基可以用Cox-de Boor递归公式 定义

$b_{j,0}(t):=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {} \quad t_{j}<t<t_{j+1}\\0&\mathrm {...} \end{matrix}}\right.$

$b_{j,n}(t):={\frac {t-t_{j}}{t_{j+n}-t_{j}}}b_{j,n-1}(t)+{\frac {t_{j+n+1}-t}{t_{j+n+1}-t_{j+1}}}b_{j+1,n-1}(t).$

当节点等距，称B样条为均匀(uniform)否则为非均匀(non-uniform)。

均匀B样条曲线

当B样条是均匀的时候，对于给定的n，每个B样条基是其他基的平移拷贝而已。一个可以作为替代的非递归定义是

$b_{j,n}(t):=b_{n}(t+n-j)\qquad {\mbox{ , }}j=-1,\ldots m+1$

满足

$b_{n}(t):=(m+1)\sum _{i=0}^{m+1}\omega _{i}(t_{i}-t)_{+}^{m}\qquad {\mbox{ , }}t\in [0,1]$

满足

$\omega _{i}:=\prod _{j=0,i\neq j}^{m+1}{\frac {1}{t_{i}-t_{k}}}$

其中

$(t_{i}-t)_{+}$

是截断幂函数（truncated power function）

注解

当节点数和多项式次数相等时，B样条退化为贝兹曲线。即函数的形状由节点的位置决定。缩放或者平移节点向量不会改变基函数。

样条包含在它的控制点的凸包中

n次B样条的一个基

$b_{i,n}(t)$

仅当在区间[t_i, t_i+n+1]上非0。就是

$b_{i,n}(t)=\left\{{\begin{matrix}>0&\mathrm {} \quad t_{i}\leq t<t_{i+n+1}\\0&\mathrm {...} \end{matrix}}\right.$

换句话说，如果我们操作一个控制点，我们只改变曲线在局部的行为，而不像Bezier曲线那样是全局行为。

例子

常数B样条

常数B样条是最简单的样条。只定义在一个节点距离上，而且不是节点的函数。它只是不同节点段（knot span）的指示函数。

$b_{j,0}(t)=1_{[t_{j},t_{j+1})}=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {} \quad t_{j}\leq t<t_{j+1}\\0&\mathrm {...} \end{matrix}}\right.$

线性B样条

线性B样条定义在两个相邻的节点段上，在节点连续但不可微。

$b_{j,1}(t)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {t-t_{j}}{t_{j+1}-t_{j}}}&\mathrm {if} \quad t_{j}\leq t<t_{j+1}\\{\frac {t_{j+2}-t}{t_{j+2}-t_{j+1}}}&\mathrm {} \quad t_{j+1}\leq t<t_{j+2}\\0&\mathrm {...} \end{matrix}}\right.$

三次B样条

一个片断上的B样条的表达式可以写作：

$S_{i}(t)=\sum _{k=0}^{3}\mathbf {P} _{i-3+k}b_{i-3+k,3}(t)\qquad {\mbox{ , }}t\in [0,1]$

其中S_i是第i个B样条片断而P是一个控制点集，i和k是局部控制点索引。控制点的集合会是$P_{i}^{w}=(w_{i}x_{i},w_{i}y_{i},w_{i}z_{i},w_{i})$的集合，其中$w_{i}$是比重，当它增加时曲线会被拉向控制点$P_{i}$，在减小时则把曲线远离该点。

片段的整个集合m-2条曲线（$S_{3},S_{4},...,S_{m}$）由m+1个控制点（$P_{0},P_{1},...,P_{m},m\geq 3$）定义，作为t上的一个B样条可以定义为

$S(t)=\sum _{i=0}^{m}\mathbf {P} _{i}b_{i,}(t)$

其中i是控制点数，t是取节点值的全局参数。这个表达式把B样条表示为B样条基函数的线性组合，这也是这个名称的原因。

有两类B样条-均匀和非均匀。非均匀B样条相邻控制点间的距离不一定要相等。一个一般的形式是区间随着插入控制点逐步变小到0。

B样条的程式指令

Matlab

In Matlab，the command“spline” can be used for spline interpolation.

(Note： In the command, the cubic B-spline is used)

Cubic B-Spline Interpolation by Matlab

Generating a sine-like spline curve and samples it over a finer mesh:

x = 0:1:10; % original sampling points

y = sin(x);

xx = 0:0.1:10; % new sampling points

yy = spline(x,y,xx);

plot(x,y,'o',xx,yy)

Python

事前安装模组

• pip install numpy
• pip install scipy
• pip install matplotlib

Cubic B-Spline Interpolation by Python

from scipy.interpolate import interp1d

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

x = np.arange(0, 11) # original sample points, [0, 1, 2, …, 9, 10]

y = np.sin(x)

f = interp1d(x, y, kind=' cubic ') ) # Cubic means the cubic B-spline.

x_new = np.arange(0, 10.1, 0.1) # new sample points, [0, 0.1, 0.2, ….., 9.9, 10]

y_new = f(x_new)

plt.plot(x,y,'o',x_new, y_new)

plt.show()

B样条曲线及曲面相关算法

关于此处涉及的算法，在著作中有针对Bézier、B样条（B-spline）以及非均匀有理B样条（Nurbs）的相关算法的详细数学表达和程序实现方法。

求导

在几何处理中，对参数曲线及曲面的求导是最基本的运算之一，由于参数表达的特性，在给定点的切线及法线可通过求导直接得到。 先来考察曲线的情形：采用本页定义中的B样条曲线表达式 $\mathbf {S} (t)=\sum _{i=0}^{m}\mathbf {P} _{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]$ 对参数$t$进行求导： ${\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=\sum _{i=0}^{m}b'_{i,n}(t)\mathbf {P} _{i}$

参看

• 样条
• De Boor算法
• 非均匀有理B样条

参考

本条目部分或全部内容出自以GFDL授权发布的《自由线上电脑词典》（FOLDOC）。

参考文献

• Jian-Jiun Ding, “Time Frequency Analysis and Wavelet Transforms ”, NTU, 2021.

外部链接

• Interactive java applets for B-splines（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Introduction to Computing with Geometry Notes (Dr.C.-K.Shene/Michigan Technological University)（页面存档备份，存于互联网档案馆）