伯努利数

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n B±
n
0 1
1 ±1/2
2 1/6
3 0
4 1/30
5 0
6 1/42
7 0
8 1/30
9 0
10 5/66
11 0
12 691/2730
13 0
14 7/6
15 0
16 3617/510
17 0
18 43867/798
19 0
20 174611/330

数学上,伯努利数 Bn 是一个与数论有密切关联的有理数序列。前几项被发现的伯努利数分别为:

B0 = 1, B±
1
= ± 1/2
, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = − 1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = − 1/30.

上标 ± 在本文中用来区别两种不同的伯努利数定义,而这两种定义只有在n = 1 时有所不同:

由于对于所有大于1的奇数 n伯努利数 Bn = 0 ,且许多公式中仅使用偶数项的伯努利数,一些作者可能会用"Bn"来代表 B2n,不过在本文中不会使用如此的简写。

等幂求和

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伯努利数Bn是等幂求和的解析解中最为明显的特征,定义等幂和如下,其中m, n ≥ 0

 

这数列和的公式必定是变量为n,次数为m +1次的多项式,称为伯努利多项式。伯努利多项式的系数与伯努利数有密切关系如下:

 

其中(m + 1
k
)
二项式系数

举例说,把m取为1,我们有 

伯努利数最先由雅各布·伯努利研究,棣莫弗以他来命名。

伯努利数可以由下列递归公式计算:

 

初值条件为B0 = 1,B1 = 1/2。 或者: 

初值条件为B0 = 1,B1 = -1/2。

伯努利数也可以用母函数技巧定义。它们的指数母函数是x/(ex − 1),使得对所有绝对值小于2π的x幂级数收敛半径),有

 

有时会写成小写bn,以便与贝尔数分别开。

最初21项伯努利数记于OEIS中的数列A027641A027642

可以证明对所有不是1的奇数nBn = 0。

数列中乍看起来突兀的B12 = −691/2730,喻示伯努利数不能以初等方式描述;其实它们是黎曼ζ函数于负整数的值,有深邃的数论性质联系,所以不能预期有简单的计算公式。

伯努利数出现在正切和双曲正切函数的泰勒级数展开式、欧拉-麦克劳林公式,及黎曼ζ函数的一些值的表达式。

在1842年的爱达·勒芙蕾丝分析机笔记的笔记G,第一次记述了一个让电脑产生伯努利数的算法

一些等式

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欧拉以黎曼ζ函数表达伯努利数为:

 

在[−1, 0]区间上的连续均匀概率分布n累积量Bn/n

伯努利数的算术性质

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伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = − nζ(1 − n),也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此,可推测它们有深刻的算术性质,事实也的确如此,这是库默尔(Kummer)研究费马大定理时发现的。

伯努利数的可整除性是与分圆域理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理(Herbrand-Ribet)描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)给出。伯努利数还和代数K理论有关:若cnBn/2n的分子,那样 的阶是−c2nn为偶数;2c2nn为奇数。

与整除性也有关连的是冯·施陶特-克劳森定理(von Staudt-Clausen)。这定理是说,凡是适合p − 1整除n的素数p,把1/p加到Bn上,我们会得到一个整数。这个事实给出了非零伯努利数Bn的分母的特征:这些分母是适合p − 1整除n的所有素数p的乘积;故此它们都无平方因子,也都可以被6整除。

吾乡-朱加猜想猜测p是素数当且仅当pBp−1p同余于−1。

p进连续性

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伯努利数的一个特别重要的同余性质,可以表述为p进连续性。若bmn是正整数,使得mn不能被p − 1整除,及 ,那么

 

因为 ,这也可以写成

 

其中u = 1 − mv = 1 − n,使得uv非正,及不是模p − 1同余于1。这告诉我们,黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中去掉 后,对适合模p − 1同余于某个 的负奇数上的p进数连续,因此可以延伸到所有p进整数 ,得出p进ζ函数

伯努利数的几何性质

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 时给出可平行流形边界的怪(4n−1)球,对于它们的微分同胚类的循环群的阶,有凯尔韦尔-米尔诺公式(Kervaire-Milnor),用到了伯努利数。若BB4n/n的分子,那么这种怪球的数目是 。(拓扑学文章中的公式与这里不同,因为拓扑学家为伯努利数编号的习惯不同。本文跟随数论家的编号习惯。)

参见

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外部链接

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  1. ^ A164555.