在拓扑学和其相关的数学领域里,拓扑比较是指在同一个给定的集合上的两个拓扑结构之间的关系。在一给定的集合上的所有拓扑会形成一个偏序集合。此一序关系可以用来做不同拓扑之间的比较。
定义 — T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 和 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 都是 X {\displaystyle X} 的拓扑,若 T 1 ⊆ T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\subseteq {\mathfrak {T}}_{2}} 称 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 比 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 更细(fine)或更强(strong),或称 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 比 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 更粗(coarse)或更弱(weak)。
进一步的,若 T 1 ⊂ T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\subset {\mathfrak {T}}_{2}} ,称 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 比 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 严格细(strictly fine),或称 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 比 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 严格粗(strictly coarse)。[1]
直观上, T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 有更多甚至是“更小”的邻域去逼近拓扑空间中的一点,所以相较之下,其拓扑结构比较“细致”。但在 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 意义下定义的 “极限”要求在更多的邻域都要能找到逼近点,所以其拓扑结构在收敛的意义下比较“强”。至于严格细或粗,就是额外要求 T 1 ≠ T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\neq {\mathfrak {T}}_{2}} 。
二元关系 ⊆ {\displaystyle \subseteq } 在 X {\displaystyle X} 所有的拓扑所组成的集合上定义了一个偏序集合。
X {\displaystyle X} 的拓扑里,最粗的是由空集和全集两个元素构成的:
而最细的拓扑是离散拓扑(discrete topology),也就是 X {\displaystyle X} 的幂集:
定理 — 设 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 是 X {\displaystyle X} 的一个子集族,则:
也是 X {\displaystyle X} 的拓扑。
根据定理的条件,对所有集合 A {\displaystyle A} 有:
以下将逐条检验拓扑的定义,来验证 τ F {\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}} 的确是 X {\displaystyle X} 的拓扑:
(1) X , ∅ ∈ τ F {\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}}
若 T {\displaystyle {\mathfrak {T}}} 的确是 X {\displaystyle X} 的拓扑,那由拓扑的定义可以得到 X , ∅ ∈ T {\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {T}}} ,这样从式(a)右方就可以得到 X , ∅ ∈ τ F {\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}} 。
(2) U , V ∈ τ F {\displaystyle U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}} 则 U ∩ V ∈ τ F {\displaystyle U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}}
若 U , V ∈ τ F {\displaystyle U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}} ,从式(a)左方有:
所以有:
所以根据拓扑的定义有:
这样从式(a)右方就可以得到 U ∩ V ∈ τ F {\displaystyle U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}} 。
(3) G ⊆ τ F {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}} 则 ⋃ G ∈ τ F {\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}}
若 G ⊆ τ F {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}} ,那对任意 g ∈ G {\displaystyle g\in {\mathcal {G}}} ,从式(a)左方有:
所以从式(a)右方可以得到 ⋃ G ∈ τ F {\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}} 。
综上所述,来验证 τ F {\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}} 的确是 X {\displaystyle X} 的拓扑。 ◻ {\displaystyle \Box }
根据以上的定理,可以做以下的定义:
定义 — F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 是 X {\displaystyle X} 的一个子集族,则:
称为包含 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的最粗拓扑(或最弱拓扑)。