拓扑比较

(重定向自Coarser topology

拓扑学和其相关的数学领域里,拓扑比较是指在同一个给定的集合上的两个拓扑结构之间的关系。在一给定的集合上的所有拓扑会形成一个偏序集合。此一序关系可以用来做不同拓扑之间的比较。

定义

编辑

定义 —    都是   的拓扑,若    (fine)或更(strong),或称   (coarse)或更(weak)。

进一步的,若   ,称   严格细(strictly fine),或称   严格粗(strictly coarse)。[1]

直观上,  有更多甚至是“更小”的邻域去逼近拓扑空间中的一点,所以相较之下,其拓扑结构比较“细致”。但在   意义下定义的 “极限”要求在更多的邻域都要能找到逼近点,所以其拓扑结构在收敛的意义下比较“强”。至于严格细或粗,就是额外要求  

二元关系    所有的拓扑所组成的集合上定义了一个偏序集合

例子

编辑

  的拓扑里,最粗的是由空集和全集两个元素构成的:

 

而最细的拓扑是离散拓扑(discrete topology),也就是 幂集

 

最粗拓扑

编辑

定理 —    的一个子集族,则:

 

也是  拓扑

证明

根据定理的条件,对所有集合   有:

  (a)

以下将逐条检验拓扑的定义,来验证   的确是 拓扑

(1)  

  的确是  拓扑,那由拓扑的定义可以得到   ,这样从式(a)右方就可以得到  

(2)   

  ,从式(a)左方有:

 
 

所以有:

 

所以根据拓扑的定义有:

 

这样从式(a)右方就可以得到  

(3)   

  ,那对任意   ,从式(a)左方有:

 

所以有:

 

所以根据拓扑的定义有:

 

所以从式(a)右方可以得到  

综上所述,来验证   的确是  拓扑 

根据以上的定理,可以做以下的定义:

定义 —    的一个子集族,则:

 

称为包含  最粗拓扑(或最弱拓扑)。



另见

编辑
  • 初拓扑-可使集合上的一组映射皆为连续的拓扑之中,最粗糙的拓扑。
  • 终拓扑-可使集合上的一组映射皆为连续的拓扑之中,最精细的拓扑。

参考资料

编辑
  1. ^ Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2000: 77–78. ISBN 0-13-181629-2.