在拓撲學和其相關的數學領域裡,拓撲比較是指在同一個給定的集合上的兩個拓撲結構之間的關係。在一給定的集合上的所有拓撲會形成一個偏序集合。此一序關係可以用來做不同拓撲之間的比較。
定義 — T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 和 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 都是 X {\displaystyle X} 的拓撲,若 T 1 ⊆ T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\subseteq {\mathfrak {T}}_{2}} 稱 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 比 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 更細(fine)或更強(strong),或稱 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 比 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 更粗(coarse)或更弱(weak)。
進一步的,若 T 1 ⊂ T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\subset {\mathfrak {T}}_{2}} ,稱 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 比 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 嚴格細(strictly fine),或稱 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 比 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 嚴格粗(strictly coarse)。[1]
直觀上, T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 有更多甚至是「更小」的鄰域去逼近拓撲空間中的一點,所以相較之下,其拓撲結構比較「細緻」。但在 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 意義下定義的 「極限」要求在更多的鄰域都要能找到逼近點,所以其拓撲結構在收斂的意義下比較「強」。至於嚴格細或粗,就是額外要求 T 1 ≠ T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\neq {\mathfrak {T}}_{2}} 。
二元關係 ⊆ {\displaystyle \subseteq } 在 X {\displaystyle X} 所有的拓撲所組成的集合上定義了一個偏序集合。
X {\displaystyle X} 的拓撲裡,最粗的是由空集和全集兩個元素構成的:
而最細的拓撲是離散拓撲(discrete topology),也就是 X {\displaystyle X} 的冪集:
定理 — 設 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 是 X {\displaystyle X} 的一個子集族,則:
也是 X {\displaystyle X} 的拓撲。
根據定理的條件,對所有集合 A {\displaystyle A} 有:
以下將逐條檢驗拓撲的定義,來驗證 τ F {\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}} 的確是 X {\displaystyle X} 的拓撲:
(1) X , ∅ ∈ τ F {\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}}
若 T {\displaystyle {\mathfrak {T}}} 的確是 X {\displaystyle X} 的拓撲,那由拓撲的定義可以得到 X , ∅ ∈ T {\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {T}}} ,這樣從式(a)右方就可以得到 X , ∅ ∈ τ F {\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}} 。
(2) U , V ∈ τ F {\displaystyle U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}} 則 U ∩ V ∈ τ F {\displaystyle U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}}
若 U , V ∈ τ F {\displaystyle U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}} ,從式(a)左方有:
所以有:
所以根據拓撲的定義有:
這樣從式(a)右方就可以得到 U ∩ V ∈ τ F {\displaystyle U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}} 。
(3) G ⊆ τ F {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}} 則 ⋃ G ∈ τ F {\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}}
若 G ⊆ τ F {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}} ,那對任意 g ∈ G {\displaystyle g\in {\mathcal {G}}} ,從式(a)左方有:
所以從式(a)右方可以得到 ⋃ G ∈ τ F {\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}} 。
綜上所述,來驗證 τ F {\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}} 的確是 X {\displaystyle X} 的拓撲。 ◻ {\displaystyle \Box }
根據以上的定理,可以做以下的定義:
定義 — F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 是 X {\displaystyle X} 的一個子集族,則:
稱為包含 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的最粗拓撲(或最弱拓撲)。