林德勒夫空间

Lindelöf 空间是每个开覆盖都有可数子覆盖的拓扑空间。注意紧空间的定义为每个开覆盖都有有限子覆盖，因此林德勒夫空间可以视为紧空间的推广。如果一个拓朴空间的所有子空间都是 Lindelöf 空间，那么这个拓朴空间我们称之为可传 Lindelöf 空间 (Hereditarily Lindelöf Space) 或强 Lindelöf 空间，但后者因为模糊且容易混淆而较少使用。

Lindelöf 空间是以芬兰数学家 Ernst Leonard Lindelöf 的名字命名。

Lindelöf 空间的性质

• 每个紧空间，或更广义地说，每个 σ-紧空间都是 Lindelöf 的。每个可数空间都是 Lindelöf 的。
• 一个 Lindelöf 空间是紧的当且仅当它是可数紧的。
• 每个第二可数空间都是 Lindelöf 的，反之则不然。例如，有许多紧空间并非第二可数的。
• 一个度量空间是 Lindelöf 的当且仅当它是可分的，并当且仅当它是第二可数的。
• 每个正则 Lindelöf 空间都是正规且仿紧的。
• 对于一个拓朴空间的可数多个 Lindelöf 子空间，其联集是 Lindelöf 的。
• Lindelöf 空间的每个闭子空间都是 Lindelöf 的。所以每个 Lindelöf 空间中的 F_σ 集都是 Lindelöf 的。
• Lindelöf 空间的任意子空间不一定是 Lindelöf 的。
• Lindelöf 空间的连续像是 Lindelöf 的。
• Lindelöf 空间与紧空间的积空间是 Lindelöf 的。
• Lindelöf 空间与 σ-紧空间的积空间是 Lindelöf 的。这是前一个性质的推论。
• 即使是有限个 Lindelöf 空间的积空间都未必是 Lindelöf 空间，例如，Sorgenfrey直线 $S$ 是 Lindelöf 的，但 Sorgenfrey平面 $S\times S$ 并非 Lindelöf 的。
• Lindelöf 空间中，每个由非空子集组成的局部有限族最多是可数的。

可传 Lindelöf 空间的性质

• 一个空间是可传 Lindelöf 的当且仅当它的每个开子空间都是 Lindelöf 的。
• 可传 Lindelöf 空间对于取可数多联集、子空间及连续像有封闭性。
• 一个正则 Lindelöf 空间是可传 Lindelöf 的当且仅当它是完美正规的。
• 每个第二可数空间都是可传 Lindelöf 的。
• 每个可数空间都是可传 Lindelöf 的。
• 每个苏斯林空间 (Suslin space) 都是可传 Lindelöf 的。
• 每个可传 Lindelöf 空间的拉东测度 (Radon measure) 都是 moderated。

一般化

以下的定义将紧致与 Lindelöf 一般化。如果一个拓朴空间的每个开覆盖都有一个基数严格小于 $\kappa$ 的子覆盖，那么我们称这个拓朴空间是 $\kappa$-紧（或 $\kappa$-Lindelöf）的，其中 $\kappa$ 是任意基数。根据这个定义，紧空间是 $\aleph _{0}$-紧的，而 Lindelöf 是 $\aleph _{1}$-紧的。

Lindelöf 度数 (Lindelöf degree)，或称 Lindelöf 数 (Lindelöf number)，以 $l(X)$ 表示，是使得“拓朴空间 $X$ 的每个开覆盖，都有不比 $\kappa$ 大的子覆盖”的最小基数 $\kappa$。 用符号表示即是：如果 $l(X)=\aleph _{0}$ 那么 $X$ 是 Lindelöf 的。注意前述所定义的 Lindelöf 度数并未区分紧空间与 Lindelöf 非紧空间。有些作者用“Lindelöf 度数”表达不同的概念：使得“拓朴空间 $X$ 的每个开覆盖，都有大小严格地小于 $\kappa$ 的子覆盖”的最小基数 $\kappa$。对于后者（且较少使用）的这种定义而言，Lindelöf 度数是使得“一个拓朴空间 $X$ 是 $\kappa$-紧”的最小基数。这样的概念有时候也被称为空间 $X$ 的紧致性度数 (compactness degree)。

相关条目

• 可数性公理
• 林德勒夫引理

参考文献

• Michael Gemignani, Elementary Topology (ISBN 978-0-486-66522-1) (see especially section 7.2)
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1995 [1978]. ISBN 978-0-486-68735-3. MR507446. 
• I. Juhász. Cardinal functions in topology - ten years later. Math. Centre Tracts, Amsterdam. 1980. ISBN 90-6196-196-3.