Mason-Stothers定理

Mason-Stothers定理,或简称Mason定理,是数学上关于多项式的定理,而这定理类似于整数上的abc猜想。这定理以1981年出版相关论述的Walter Wilson Stothers[1]以及稍后独立发现这定理的R. C. Mason[2]为名。

此定理陈述如下:

a(t)b(t)c(t)为一个域上彼此互质的多项式、a + b = c的导数不全是0(Vanishing)导数的多项式,那么有

其中rad(f)f所有相异的不可约多项式的乘积。对于代数闭域而言,这是与f有相同的的最小多项式;在这状况下,deg(rad(f))即代表f彼此相异的根的数量。[3]

例子

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  • 对特征为0的域而言,abc不全为0(Vanishing)导数的多项式的等价条件是这些多项式不全是常数。对于特征为p > 0的域而言,假定这些多项式不全是常数并不足够,像例如说,对特征为p的域而言,tp + 1 = (t + 1)p这等式可给出三个多项式(其中ab是等号左边的加数,而c放在等号右边)的最大次数为p,但其根基(也就是相异的根的数量)的次数仅仅为2
  • a(t) = tnc(t) = (t+1)n可给出使得Mason-Stothers定理等号成立的例子,而这显示说在一些状况下,不等式是最佳可能。
  • Mason-Stothers定理的一个推论是费马最后定理在函数域上的类比:对于彼此互质的多项式abc,若a(t)n + b(t)n = c(t)n且相关联的域的特征不能除尽nn > 2,那么abc至少有一个为0或者这三个多项式全是常数。

证明

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Snyder (2000)给出了以下关于Mason-Stothers定理的初等证明:[4]

第一步、a + b + c = 0这条件表示说W(a, b) = ab′ − abW(b, c)以及W(c, a)朗斯基行列式全数相等,设其共通值为W

第二步、abc这三个导数至少有一个不是消失的(Vanishing)及abc这两点表示说W不等于零。

像例如说,若W = 0,那么ab′ = ab,故a可除尽a(而这是因为ab彼此互质),因此a′ = 0,而这是因为在a非常数的状况下,有deg a > deg a之故。

第三步、W同时可被(a, a′)(b, b′)以及(c, c′)这三组最大公因数除尽。由于这些多项式彼此互质之故,因此W可被其乘积除尽;且因W不等于零之故,因此有

deg (a, a′) + deg (b, b′) + deg (c, c′) ≤ deg W

第四步、将上式以下列不等式取代:

deg (a, a′) ≥ deg a − (a相异的根的数量)
deg (b, b′) ≥ deg b − (b相异的根的数量)
deg (c, c′) ≥ deg c − (c相异的根的数量)

(其中根取自某个代数闭包) 且因为

deg W ≤ deg a + deg b − 1

之故,因此有

deg c ≤ (abc相异的根的数量) − 1

而这正是所要证明的。

推广

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这定理有一个将多项式环以函数域取代的自然推广,该推广如下:

k是一个特征为零的代数闭域,设C/k是一个几何亏格英语Geometric genusg射影簇英语Projective variety,并设

 

为一个C并满足 的有理函数,并设SC(k)中包含ab所有零点和极点的集合,那么有

 

其中函数在k(C)的次数是相应映射从C映至P^1的次数。而一个不同且较短的证明在同年由J. H. Silverman英语Joseph H. Silverman发表。[5]

此外还有一个推广,这推广由J. F. Voloch英语José Felipe Voloch[6]W. D. Brownawell英语W. Dale BrownawellD. W. Masser英语David Masser等人独立发现,[7]此推广给出了在ai的子集没有一个是k─线性独立的状况下,有n个变数的S单位等式a1 + a2 + ... + an = 1的上界,他们证明了下式:

 

参考资料

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  1. ^ Stothers, W. W., Polynomial identities and hauptmoduln, Quarterly J. Math. Oxford, 2, 1981, 32: 349–370, doi:10.1093/qmath/32.3.349 .
  2. ^ Mason, R. C., Diophantine Equations over Function Fields, London Mathematical Society Lecture Note Series 96, Cambridge, England: Cambridge University Press, 1984 .
  3. ^ Lang, Serge. Algebra. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2002: 194. ISBN 0-387-95385-X. 
  4. ^ Snyder, Noah, An alternate proof of Mason's theorem (PDF), Elemente der Mathematik, 2000, 55 (3): 93–94 [2023-12-21], MR 1781918, doi:10.1007/s000170050074 , (原始内容存档 (PDF)于2015-09-06) .
  5. ^ Silverman, J. H., The S-unit equation over function fields, Proc. Camb. Philos. Soc., 1984, 95: 3–4 
  6. ^ Voloch, J. F., Diagonal equations over function fields, Bol. Soc. Bras. Mat., 1985, 16: 29–39 
  7. ^ Brownawell, W. D.; Masser, D. W., Vanishing sums in function fields, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1986, 100: 427–434 

外部链接

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