abc猜想

abc猜想（英语：abc conjecture）是一个未解决的数学猜想，最先由约瑟夫·奥斯特莱及大卫·马瑟在1985年提出。abc猜想以三个互质正整数a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大学数理解析研究所望月新一教授于2012年提出论文证明，经过8年同行审查后于2020年4月发表，但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC项目“ABC@Home”。

abc猜想若得证，数论中很多著名猜想可以立时得出。多利安·哥德费尔德称abc猜想为“丢番图分析中最重要的未解问题”。(Goldfeld 1996)

内容

对正整数$n$，$\operatorname {rad} (n)$表示$n$的质因数的积，称为$n$的根基（radical）。例如

rad(16) = rad(2⁴) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整数a, b, c 彼此互质，且a + b=c，“通常”会有c < rad(abc)，例如：

$a=2$, $b=7$, $c=9$：$\operatorname {rad} (abc)=42>c$。

$a=9$, $b=16$, $c=25$：$\operatorname {rad} (abc)=30>c$。

但是也有反例，例如：

$a=3$, $b=125$, $c=128$：因为$125=5^{3}$，$128=2^{7}$，故此$\operatorname {rad} (abc)=30<c$。

如上有多于一个整数可被小的质数的高次幂整除，使rad(abc) < c，是较特殊的情况。ABC@Home计划目的在寻找更多这样的例子。

abc猜想（一）

对于任何$\varepsilon >0$，只存在有限个互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，使得

$c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }$

abc猜想也有以下等价的表述方式：

abc猜想（二）

对于任何$\varepsilon >0$，存在常数$C_{\varepsilon }>0$，使得对于互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，有：

$c<C_{\varepsilon }\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon },$

abc猜想第三个表述方式，用到了三元组(a, b, c)的品质（quality），定义为：

$q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}$

例如：

• q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
• q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互质正整数的三元组，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大于1的情况较少出现。

abc猜想（三）

对于任何$\varepsilon >0$，只存在有限个互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，使得

$q(a,b,c)>1+\epsilon$

abc猜想中的ε不能去掉，不然命题就不成立。考虑以下例子：

$a_{n}=3^{2^{n}}-1$, $b_{n}=1$, $c_{n}=3^{2^{n}}$

这三个正整数互质，且有$a_{n}+b_{n}=c_{n}$。注意到$a_{n}$可被$2^{n+2}$整除，因此有

$\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})\leq 3\cdot 2\cdot {\frac {a_{n}}{2^{n+2}}}={\frac {3a_{n}}{2^{n+1}}}$:

因此

$c_{n}>a_{n}\geq {\frac {2^{n+1}}{3}}\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})$

当n趋向无限大时，${\frac {2^{n+1}}{3}}$也趋向无限大。因此不存在常数C，使得 c < C rad(abc)对所有适合条件的三元组都成立。

可得出的结果

如果abc猜想得证，那么有很多结果可以推导出来。其中一些结果，在abc猜想提出后，已经以其他方法得到证明，一些则仍然为猜想。

• Thue–Siegel–Roth定理
• 费马大定理对所有足够大指数的情形（安德鲁·怀尔斯已证一般情形） (Granville 2002)
• Mordell猜想（格尔德·法尔廷斯已证一般情形）(Elkies 1991)
• Erdős–Woods猜想，除了有限多的反例。(Langevin 1993)
• 存在无限多非维费里希素数(Silverman 1988)
• Marshall Hall猜想的弱形式(Nitaj 1996)
• 费马－卡塔兰猜想(Pomerance 2008)
• 用勒让德符号构成的L函数L(s, χ_d)没有西格尔零点（需要abc猜想在代数数域上的一致形式，不只在有理整数上。）(Granville 2000)
• 对有至少3个简单零点的多项式P(x)，在整数x取的所有值中，只有有限个次方数。
• Tijdeman定理的推广形式，关于y^m = xⁿ + k的解的个数（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，关于Ay^m = Bxⁿ + k的解的个数。
• 等价于Granville–Langevin 猜想
• 等价于修改后的Szpiro猜想(Oesterlé 1988)
• Brocard问题n! + A= k²，对任何给定的整数A，都只有有限个解。(Dąbrowski 1996)

理论结果

abc猜想导出c有abc的根基的接近线性函数的上界；不过，现在已知的是指数上界。确切结果如下：

$c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}$ (Stewart & Tijdeman 1986),

$c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}$ (Stewart & Yu 1991),

$c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {1}{3}}+\varepsilon }\right)}$ (Stewart & Yu 2001).

上述的上界中，K₁是不依赖a, b, c的常数，而K₂和K₃是（以可有效计算的方式）依赖于ε的常数，但不依赖于a, b, c。上述的上界对c > 2的三元组都成立。

计算结果

2006年，荷兰的莱顿大学数学系与Kennislink科学研究所合作，开展ABC@Home计划。这个计划是网格计算系统，目的在找出更多的正整数三元组a, b, c使得rad(abc) < c。虽然有无限个例子或反例不能解决abc猜想，但是期望借着这个计划发现的三元组的模式，可以得出对这个猜想以至于数论的新的洞见。

下述的q是上节定义的品质。

符合q > 1的三元组分布

	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 102	6	4	4	2	0	0
c < 103	31	17	14	8	3	1
c < 104	120	74	50	22	8	3
c < 105	418	240	152	51	13	6
c < 106	1,268	667	379	102	29	11
c < 107	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 108	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 109	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 1010	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 1011	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 1012	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 1013	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 1014	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 1015	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 1016	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 1017	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 1018	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

截至2014年4月 (2014-04)，ABC@Home找出 2380 万个三元组，现今目标在找出c不大于2⁶³的所有三元组(a,b,c)。

已知之中最高品质的三元组

	q	a	b	c	发现者
1	1.6299	2	310·109	235	Eric Reyssat
2	1.6260	112	32·56·73	221·23	Benne de Weger
3	1.6235	19·1307	7·292·318	28·322·54	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4	1.5808	283	511·132	28·38·173	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5	1.5679	1	2·37	54·7	Benne de Weger

历史

1996年，艾伦·贝克（Alan Baker）提出一个较为精确的猜想，将$\operatorname {rad} (abc)$用$\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc)$取代，在此$\omega$是$a,b,c$的不同质因数的数目。

2007年，吕西安·施皮罗尝试给出证明，后来被发现有错误。

2012年8月，日本京都大学数学家望月新一发表长约五百页的abc猜想的证明，以他建立的宇宙际泰赫米勒理论（inter-universal Teichmüller theory）为基础。该证明目前正由其他数学专家检查中。当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，当中很多也是打字错误。望月新一在网上公开了2013年以及2014年的检验进度报告。2018年8月，皮特·舒尔策和Jakob Stix指出，望月新一的证明论文中 Corollary 3.12 证明结尾的一行推理存在无法修复的缺陷。望月认为二者的批评存在“某种根本上的误解”。

参见

• 根基
• Mason-Stothers定理—多项式环上的对应定理

参考文献

来源

• Baker, Alan. Logarithmic forms and the abc-conjecture. Győry, Kálmán (编). Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996. Berlin: de Gruyter. 1998: 37–44. ISBN 3-11-015364-5. Zbl 0973.11047. 
• Bombieri, Enrico; Gubler, Walter. Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs 4. Cambridge University Press. 2006. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034. doi:10.2277/0521846153. 
• Browkin, Jerzy; Brzeziński, Juliusz. Some remarks on the abc-conjecture. Math. Comp. 1994, 62 (206): 931–939. JSTOR 2153551. doi:10.2307/2153551. 
• Browkin, Jerzy. The abc-conjecture. Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J. (编). Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. 2000: 75–106. ISBN 3-7643-6259-6. 
• Dąbrowski, Andrzej. On the diophantine equation $x!+A=y^{2}$. Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. 1996, 14: 321–324. 
• Elkies, N. D. ABC implies Mordell. Intern. Math. Research Notices. 1991, 7 (7): 99–109. doi:10.1155/S1073792891000144. 
• Goldfeld, Dorian. Beyond the last theorem. Math Horizons. 1996, (September): 26–34. 
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton: Princeton University Press. 2008: 361–362, 681. ISBN 978-0-691-11880-2. 
• Granville, A. ABC Allows Us to Count Squarefrees (PDF). International Mathematics Research Notices. 1998, 1998: 991–1009 [2014-09-29]. doi:10.1155/S1073792898000592. （原始内容存档 (PDF)于2014-02-02）. 
• Granville, Andrew; Stark, H. ABC implies no "Siegel zeros" for L-functions of characters with negative exponent (PDF). Inventiones Mathematicae. 2000, 139: 509–523 [2014-09-29]. doi:10.1007/s002229900036. （原始内容存档 (PDF)于2015-09-23）. 
• Granville, Andrew; Tucker, Thomas. It’s As Easy As abc (PDF). Notices of the AMS. 2002, 49 (10): 1224–1231 [2014-09-29]. （原始内容存档 (PDF)于2015-02-15）. 
• Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. 
• Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. Graphs on Surfaces and Their Applications. Encyclopaedia of Mathematical Sciences: Lower-Dimensional Topology II 141 (Springer-Verlag). 2004. ISBN 3-540-00203-0. 
• Langevin, M. Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc. Comptes rendus de l'Académie des sciences. 1993, 317 (5): 441–444 （法语）. 
• Masser, D. W., Open problems, Chen, W. W. L. (编), Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory, London: Imperial College, 1985 
• Nitaj, Abderrahmane. La conjecture abc. Enseign. Math. 1996, 42 (1–2): 3–24 （法语）. 
• Oesterlé, Joseph, Nouvelles approches du "théorème" de Fermat, Astérisque, Séminaire Bourbaki exp 694, 1988, (161): 165–186 [2012-09-20], ISSN 0303-1179, MR992208, （原始内容存档于2018-01-20） 
• Pomerance, Carl. Computational Number Theory. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2008: 361–362. 
• Silverman, Joseph H. Wieferich's criterion and the abc-conjecture. Journal of Number Theory. 1988, 30 (2): 226–237. Zbl 0654.10019. doi:10.1016/0022-314X(88)90019-4. 
• Stewart, C. L.; Tijdeman, R. On the Oesterlé-Masser conjecture. Monatshefte für Mathematik. 1986, 102 (3): 251–257. doi:10.1007/BF01294603. 
• Stewart, C. L.; Yu, Kunrui. On the abc conjecture. Mathematische Annalen. 1991, 291 (1): 225–230. doi:10.1007/BF01445201. 
• Stewart, C. L.; Yu, Kunrui. On the abc conjecture, II. Duke Mathematical Journal. 2001, 108 (1): 169–181. doi:10.1215/S0012-7094-01-10815-6. 

外部链接

• ABC@home（页面存档备份，存于互联网档案馆） 分布式计算项目ABC@Home.
• Easy as ABC（页面存档备份，存于互联网档案馆）: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
• 埃里克·韦斯坦因. abc Conjecture. MathWorld. 
• Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
• Bart de Smit's ABC Triples webpage（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The amazing ABC conjecture（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies
• Questions about Number（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Barry Mazur
• Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture（页面存档备份，存于互联网档案馆） on MathOverflow
• ABC Conjecture（页面存档备份，存于互联网档案馆） Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.