超对称杨-米尔斯理论

在物理学中，超对称杨-米尔斯 (SYM) 理论跟杨-米尔斯理论、弦理论、共形理论、共形对称、超对称有关。

四维（N=4）

N=4超杨米理论的拉格朗日量是

$L=\operatorname {tr} \left\{-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta _{I}}{8\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\bar {F}}^{\mu \nu }-i{\overline {\lambda }}^{a}{\overline {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\lambda _{a}-D_{\mu }X^{i}D^{\mu }X^{i}+gC_{i}^{ab}\lambda _{a}[X^{i},\lambda _{b}]+g{\overline {C}}_{iab}{\overline {\lambda }}^{a}[X^{i},{\overline {\lambda }}^{b}]+{\frac {g^{2}}{2}}[X^{i},X^{j}]^{2}\right\},$

$F_{\mu \nu }^{k}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{k}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{k}+f^{klm}A_{\mu }^{l}A_{\nu }^{m}$

i, j =1,...,6

a, b =1,...,4

$f$ 是杨米尔斯规范群的结构常数

$C_{i}^{ab}$ 是SU(4)的结构常数

由于非重整化定理，这是一个超共形场论。

十维

N=10的拉氏量是

$L=\operatorname {tr} \left\{{\frac {1}{g^{2}}}F_{IJ}F^{IJ}-i{\bar {\lambda }}\Gamma ^{I}D_{I}\lambda \right\}+\theta _{I}dCS_{9}^{I}$

I, J = 0, ..., 9

$\Gamma ^{I}$ 是32x32的矩阵 $(32=2^{10/2})$

$\theta _{I}$ 是陈类，CS9是9维的陈-西蒙斯形式（陈-西蒙斯理论）。

应用

• S对偶的耦合常数：

$\tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}.$

• AdS/CFT对偶、全像原理、类型IIB弦理论、量子引力

• 大N展开、平面杨米尔斯理论、 $N^{2-2g}$的费曼图
• Yangian
• 扭量理论、格拉斯曼流形
• 11维M理论、$N\rightarrow \infty$

 阅读

• Kapustin, Anton; Witten, Edward. Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program. Communications in Number Theory and Physics. 2007, 1 (1): 1–236. Bibcode:2007CNTP....1....1K. arXiv:hep-th/0604151 . doi:10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1.