耦合常数

在物理学中，耦合常数决定了相互作用的强度。例如在牛顿万有引力定律和爱因斯坦的广义相对论中，牛顿常数 $G_{N}$ 就是引力的耦合常数。在粒子物理中，耦合常数的数值常常通过精细结构常数来给出。例如电磁相互作用的精细结构常数为 $\alpha ={\frac {g_{e}^{2}}{4\pi }}\simeq {\frac {1}{137.036}}$ ，其中 $g_{e}$ 是电磁相互作用的耦合常数，它正比与电子电荷 $g_{e}={\frac {e}{\sqrt {\varepsilon _{0}\hbar c}}}$ 。在日常使用时，耦合常数也经常和精细结构常数换用。

在拉格朗日系统中，拉格朗日量或哈密顿量可以分成动能部分和相互作用部分。耦合常数决定了相互作用部分相对于动能部分的强度。在存在多种相互作用的情况下，耦合常数也决定着各个相互作用的相对强度。

在经典力学中，耦合常数的大小可以通过测量力的大小直接得到。历史上牛顿常数是在牛顿死后71年后才由卡文迪什通过扭秤实验测量得到。但在量子力学中由于量子涨落的存在，出现在拉格朗日量或哈密顿量中的耦合常数是无法直接通过测量得到的。而实验中测量得到的耦合常数会随着探测尺度的不同而不同，被称为跑动的耦合常数。相应的，拉格朗日量中的耦合常数被称为裸耦合常数。

如果一个物理系统的相互作用的耦合常数比较小，则它的解可以通过微扰论近似得到。微扰论在量子场论的计算中尤其重要。

基本相互作用

强、弱、电磁和引力四种基本相互作用中的耦合常数的大小大致如下 ^[1]：

相互作用	耦合常数
强相互作用	$g_{s}\simeq 1.214$
电磁相互作用	$g_{e}\simeq 0.302822$
弱相互作用	$g_{W}\simeq 0.6295,\quad g_{Z}\simeq 0.7180$
引力相互作用	$G_{N}\simeq 6.674\times 10^{-11}\mathrm {m^{3}kg^{-1}s^{-2}}$

弱耦合与微扰论

如果一个问题中的耦合常数 $g$ 远小于单位一，则其称为“弱耦合”的，此时问题的解 $A$ 可以按照 $g$ 的幂次（又叫做阶数）展开表示为，

A=A_{0}+gA_{1}+g^{2}A_{2}+...

其中， $A_{0}$ 为没有相互作用时问题的解。这种方法称为微扰论。在上述微扰展开中，越高阶项的贡献越小。因而可以在适当阶做截断，以满足给定的精度要求。微扰论只有在弱耦合时才有用，因为若耦合常数 $g$ 大于一，则越高阶项的贡献越大，任何有限阶数的截断都会带来严重的误差。

微扰论在量子场论中具有核心地位。量子场论中的微扰论计算一般是通过费曼图和费曼规则来系统地组织实现的，因为费曼图就是按照耦合常数的幂次画出来的。电磁相互作用、弱相互作用在寻常尺度下都是弱耦合的相互作用。而强相互作用在短距离上（尺度远小于飞米时）也是弱耦合的。

跑动的耦合常数

在量子力学尤其是量子场论中，由于量子涨落效应的存在，相互作用顶点被虚粒子所修正，成为非定域性的相互作用顶点。因此，测得的耦合常数的大小与原拉格朗日量或哈密顿量中的裸耦合常数不同，且与测量的能量标度有关。后一点可以通过不确定关系， $\Delta p\Delta x\geq {\frac {1}{2}}\hbar$ 来理解。测量使用的能量越高，测量仪器能够分辨的尺度就越小。在小尺度下，将能看到更多的虚粒子的涨落。这种效应与电荷在介质中的极化效应是相似的。因而也被称为真空极化。这种随着能标的改变而改变的“耦合常数”被称为跑动的耦合常数。

β函数β(g) 描述了耦合常数随能量标度μ变化的情形，其定义如下

\beta (g)=\mu {\frac {\partial g}{\partial \mu }}={\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }},

其中μ为特定物理过程的能量标度。

若量子场论中的β函数为零，则此理论为共形场论。若在高能量下β函数为正，代表耦合常数随着能标的增加而增加；若在高能量下β函数为负，则代表耦合常数随着能标的增加减小，这种现象叫做渐近自由。

量子电动力学和朗道奇点

根据微扰论，描写电磁相互作用的量子电动力学的β函数为正，耦合效应会随着能量增加而增强。量子电动力学在高能量时会变得高度耦合，甚至在某些有限时能量下，耦合系数似乎会变成无限大，此现象最早是由列夫·达维多维奇·郎道所发现，因此称为郎道奇点（英语：Landau pole）。不过摄动论在强耦合情况下已经失效。而且达到朗道奇点所需的能标远远超过普朗克能标，而一般认为量子场论在普朗克能标左右已经不再适用。

量子色动力学和渐近自由

精确到

g_{s}^{2}

阶的强相互作用的耦合常数随着能标的变化

弗朗克·韦尔切克、休·波利策及戴维·格娄斯发现，描写强相互作用的量子色动力学的β函数为负。因此量子色动力学的耦合在高能量时会降低。其发现者因此获得2004年的诺贝尔物理奖^[2]。在一阶近似下耦合系数大致可以表示为下式：

\alpha _{s}(\mu ^{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {g_{s}^{2}(\mu ^{2})}{4\pi }}\approx {\frac {1}{\beta _{0}\ln(\mu ^{2}/\Lambda ^{2})}},

其中 $\beta _{0}={\frac {1}{12\pi }}(33-2N_{f})$ 为一常数， $N_{f}=6$ 是夸克味的数目。这是最先由韦尔切克、波利策和格娄斯计算的。

相反的，耦合程度会随着能量降低而增强，因此在低能量时耦合效应会变强。尤其是在能标Λ上由微扰论定义耦合常数开始出现发散，因此不能用摄动效应来求解。Λ称为QCD尺度，其数值为

\Lambda _{MS}=217_{-23}^{+25}{\rm {\ MeV}}

大致对应于一飞米。

弦理论

弦理论下的耦合常数有明显的不同点，弦耦合常数一方面意味着决定一根弦分裂的能力，另一方面则意味着弦理论的每一个摄动叙述和一个弦耦合常数有关，可是这些耦合常数不是事先定义、可调整及共适性的常数，而是动态的标量场，会依位置和时间改善，而其数值需动态决定。

参考资料

^ Griffiths, David. Introduction to Elementary Particles 2nd, Revised. KGaA, Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. 2008: XVI [2013-09-20]. ISBN :978-3-527-40601-2 请检查|isbn=值 (帮助). （原始内容存档于2017-11-26）.
^ The Nobel Prize in Physics 2004. NobelPrize.org. Nobel Media. [2011-08-26]. （原始内容存档于2010-11-06）.

[1] Griffiths, David. Introduction to Elementary Particles 2nd, Revised. KGaA, Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. 2008: XVI [2013-09-20]. ISBN :978-3-527-40601-2 请检查|isbn=值 (帮助). （原始内容存档于2017-11-26）.

[2] The Nobel Prize in Physics 2004. NobelPrize.org. Nobel Media. [2011-08-26]. （原始内容存档于2010-11-06）.

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