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讨论:棱锥

Iflwlou在话题“新条目推荐讨论”中的最新留言：11年前
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最新留言：在11年前发布2条留言2人参与讨论

不知是否浏览器的问题，我仿看到“解析失败”：

棱锥的体积取决于平面外顶点到底面的距离，以及底面多边形的面积。前者称为棱锥的高，后者称为棱锥的底面积。设h 为棱锥的高，S为棱锥的底面积，V 为棱锥的体积，则棱锥的体积可以用以下公式计算[4]:93：

解析失败 (未知错误): V = \frac{1}{3} S h

这个公式早在公元三世纪就得到了证明。现代的证明一般使用积分。假设有棱锥PA1A2...An，其中A1A2...An为底面的n边形，P为棱锥顶点。设P在底面的投影为Q点，PQ的长度为h。在线段PQ上取一点X，使得线段PX的长度为x：0 ≤ x ≤ h，那么过点X而且与底面平行的平面截棱锥得到的形状是一个和底面的n边形相似的n边形，记作Ax1Ax2...Axn，它的面积Sx与底面积S的比值等于PX与PQ的比值的平方：

解析失败 (未知错误): \frac{S_x}{S} = \left( \frac{PX}{PQ} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2.

在点X附近截取的“一片”棱锥“切片”，它的体积大约等于：解析失败 (未知错误): dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy


所以棱锥的体积等于积分： 解析失败 (未知错误): V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h.


对于正棱锥，假设它的底面是正n边形，边长为a，高是h，那么底面积是：S = \frac{n a^2}{4}\cot \frac{\pi}{n}. 所以它的体积是：

V = \frac{n a^2 h}{12} \cot \frac{\pi}{n}.

表面积[编辑]

棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积Sc 解析失败 (未知错误): S_c =\sum_{i=1}^n S_i ，其中S_i , i=1,2 \cdots , n是第 i 个侧面的面积。 棱锥的表面积等于棱锥的侧面积Sc加上底面积S。假设顶点的投影Q点到第 i 个侧面对应的底边的距离是di，底边的长度是ai，那么棱锥的侧面积： 解析失败 (未知错误): S_c =\sum_{i=1}^n S_i = \frac12 \sum_{i=1}^n a_i \sqrt{h^2 + d_i^2}.

对于正n棱锥，顶点到底面的投影是底面正n边形的中心。所以投影点到每一边的距离都相等：解析失败 (未知错误): d_1 = d_2 = \cdots = d_n = d. 因此棱锥的斜高也就是侧面三角形的高：解析失败 (未知错误): l = \sqrt{h^2 + d^2}. 棱锥的侧面积[4]:87：

解析失败 (未知错误): S_c =\sum_{i=1}^n S_i = \frac12 l \sum_{i=1}^n a_i = \frac12 lp. 其中p是底面正n边形的周长。假设底面正n边形的边长是a，高是h，那么它的周长是na，中心到每一边的距离是解析失败 (未知错误): \frac{a}{2} \cot \frac{\pi}{n} 。所以斜高是：解析失败 (未知错误): \sqrt{ h^2 + \frac{a^2}{4} \cot^2 \frac{\pi}{n} } ，侧面积是： 解析失败 (未知错误): S_c =\sum_{i=1}^n S_i = \frac12 na \sqrt{ h^2 + \frac{a^2}{4} \cot^2 \frac{\pi}{n}}.

--Iflwlou [ M {  2013年9月23日 (一) 09:20 (UTC)回复

我个人猜测可能是网速不够导致网页等待时间过长request time out的后果，我自己也碰到过。我现在在自己电脑上看是没有解析失败的问题。我想还是要到技术版问一下。—Snorri（留言） 2013年9月23日 (一) 09:29 (UTC)回复

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