Θ函数

数学中，Θ函数是一种多复变特殊函数。其应用包括阿贝尔簇与模空间、二次形式、孤立子理论；其格拉斯曼代数推广亦出现于量子场论，尤其于超弦与D-膜理论。

Jacobi theta 1

Jacobi theta 2

Jacobi theta 3

Jacobi theta 4

Θ函数最常见于椭圆函数理论。相对于其“z” 变量，Θ函数是拟周期函数（quasiperiodic function），具有“拟周期性”。在一般下降理论中，Θ函数是来自线丛条件。

雅可比Θ函数

雅可比Θ函数取二变量$z\,$与$\tau \,$，其中$z\,$为任何复数，而$\tau \,$为上半复平面上一点；此函数之定义为：

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}$。

若固定$\tau \,$ ，则此成为一周期为$1\,$的单变量$(z)\,$整函数的傅里叶级数：

$\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )$ 。

在以 $\tau \,$ 位移时，此函数符合：

$\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\ e^{(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)}\vartheta (z;\tau )$；

其中 $a\,$与$b\,$为整数。

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辅助函数

可定义辅助函数：

$\vartheta _{01}(z;\tau )=\vartheta (z+{\frac {1}{2}};\tau )$

$\vartheta _{10}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }z}\vartheta (z+{\frac {\tau }{2}};\tau )$

$\vartheta _{11}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }(z+{\frac {1}{2}})}\vartheta (z+{\frac {\tau +1}{2}};\tau ).$

其中符号依黎曼与芒福德之习惯；雅可比的原文用变量$q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,$替换了$\tau \,$，而称本条目中的Θ为$\theta _{3}\,$，$\vartheta _{01}$为$\theta _{0}\,$，$\vartheta _{10}$为$\theta _{2}\,$，$\vartheta _{11}$为$-\theta _{1}\,$。

若设$z=0\,$，则我们可从以上获得四支单以$\tau \,$为变量之函数，其中$\tau \,$取值于上半复平面。此等函数人称“Θ‘常量’”（theta constant）；我们可以用Θ函数定义一系列模形式，或参数化某些曲线。由“雅可比 恒等式”可得：

$\vartheta (0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}$,

是为四次费马曲线。

雅可比恒等式

雅可比恒等式描述模群在Θ函数之作用；模群之生成元为T: τ ↦ τ+1与S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。设：

$\alpha =(-{\mathrm {i} }\tau )^{\frac {1}{2}}e^{{\pi {\mathrm {i} }z^{2}}{\tau }}\,$

则

$\vartheta ({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta (z;\tau )$

$\vartheta _{01}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{10}(z;\tau )$

$\vartheta _{10}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{01}(z;\tau )$

$\vartheta _{11}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=-\alpha \vartheta _{11}(z;\tau )$

以nome q表示Θ函数

我们可用变量$w\,$与$q\,$，代替$z\,$与$\tau \,$，来表示ϑ。设$w=e^{\pi {\mathrm {i} }z}\,$而$q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,$。则ϑ可表示为：

$\vartheta (w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.$

而辅助Θ函数可表示为：

$\vartheta _{01}(w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n}q^{n^{2}},$

$\vartheta _{10}(w;q)=q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n+1}q^{n^{2}+n},$

$\vartheta _{11}(w;q)={\mathrm {i} }q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n+1}q^{n^{2}+n}.$

此表示式不需要指数函数，所以适用于指数函数无每一处定义域，如p进数域。

乘积表示式

雅可比三重积恒等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有复数$w\,$和$q\,$，其中$|q|<1\,$而$w\neq 0\,$，则

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.$

此式可以用基本方法证明，如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》（英语：An Introduction to the Theory of Numbers）。

若用nome变量$q=e^{\pi i\tau }\,$与$w=e^{\pi iz}\,$表示，则有：

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(\pi iz2n)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.$

由此得到Θ函数的积公式：

$\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right)$

三重积等式左边可以扩展成：

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+(w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),$

即

$\vartheta (z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)$。

这个式子在z取实值时尤为重要。 各辅助Θ函数亦有类似之积公式：

$\vartheta _{01}(z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).$

$\vartheta _{10}(z|q)=2q^{1/4}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).$

$\vartheta _{11}(z|q)=-2q^{1/4}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).$

积分表示式

雅可比Θ函数可用积分表示，如下：

$\vartheta (z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u) \over \sin(\pi u)}du$

$\vartheta _{01}(z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz) \over \sin(\pi u)}du.$

$\vartheta _{10}(z;\tau )=-ie^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du$

$\vartheta _{11}(z;\tau )=e^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du$

与黎曼ζ函数的关系

黎曼常用关系式

$\vartheta (0;-{\frac {1}{\tau }})=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )$

以证黎曼ζ函数之函数方程。他写下等式：

$\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{\frac {s}{2}}{\frac {dt}{t}}$ ；

而此积分于替换$s\to 1-s$下不变。 $z\,$非零时之积分，在赫尔维茨ζ函数一文有描述。

与基本椭圆函数之关系

雅可比用Θ函数来构造椭圆函数，并使其有易于计算之形式，因为Θ函数中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圆函数成两枚上述Θ函数之商，这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏尔施特拉斯椭圆函数亦可由雅可比Θ构造：

$\wp (z;\tau )=-(\log \vartheta _{11}(z;\tau ))''+c$

其中二次微分相对于z，而常数c使$\wp (z)$的罗朗级数（于 z = 0）常项为零，因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数，和为零，而魏尔施特拉斯椭圆函数的所有极点留数均为零，所以这是必要的。

与模形式之关系

设η为戴德金η函数。则

$\vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left(\tau +{\frac {1}{2}}\right)}{\eta (2\tau +1)}}$.

解热方程

雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。 设z = x取实值，τ = it而t取正值。则有

$\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)$

此解此下方程：

${\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it)$。

于t = 0时，Θ函数成为“狄拉克梳状函数”（Dirac comb）

$\lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)$，

其中δ为狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。 因此，一般解可得自t = 0时的（周期）边界条件与Θ函数的卷积。

与海森堡群之关系

雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。

推广

若F为一n元二次型，则有一关连的Θ函数

$\theta _{F}(z)=\sum _{m\in Z^{n}}\exp(2\pi izF(m))$

其中Zⁿ为整数格。此Θ函数是模群（或某适当子群）上的权n/2 模形式。在其富理埃级数

$\theta _{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)\exp(2\pi ikz)$

中，R_F(k) 称为此模形式之“表示数”（representation numbers）。

拉马努金Θ函数

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黎曼Θ函数

设

$\mathbb {H} _{n}=\{F\in M(n,\mathbb {C} )\;\mathrm {s.t.} \,F=F^{T}\;{\textrm {and}}\;{\mbox{Im}}F>0\}$

为一集对称方矩阵，其虚部为正定，一般称H_n为“西格尔上半平面”（Siegel upper half-plane），它是上半复平面的高维推广。模群之n维推广为辛群Sp(2n,Z)： 当n = 1 时， Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群（congruence subgroup）的n维推广为态射核${\textrm {Ker}}\{{\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} )\rightarrow {\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )\}$。

若设$\tau \in \mathbb {H} _{n}$，则可定义黎曼Θ函数：

$\theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)$；

$\theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)$；

其中$z\in \mathbb {C} ^{n}$为一n维复向量，上标T为转置。然则雅可比Θ函数为其特例（设n = 1、 $\tau \in \mathbb {H}$；其中$\mathbb {H}$为上半平面）。

在$\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.$的紧致子集上，黎曼Θ函数绝对一致收敛。

函数方程为：

$\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{T}z-{\frac {1}{2}}b^{T}\tau b\right)\theta (z,\tau )$；

此方程成立于 $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$, $z\in \mathbb {C} ^{n}$ ， $\tau \in \mathbb {H} _{n}$。

q-Θ函数

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参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
• G. H. Hardy and E. M. Wright，An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
• David Mumford，Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
• James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
• Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.

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