韦伊配对

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韦伊配对(英语:Weil pairing),简单的说,Weil对可将椭圆曲线之挠群(torsion group)上的两个点,映射到一个特殊有限域之乘法子群上,借此可将椭圆曲线离散对数问题(ECDLP)投射到一般的离散对数问题(DLP)。

Weil对被用在数论以及代数几何上,以及椭圆曲线密码学的ID-based cryptography上。

对于更高维度的阿贝尔簇,相应的理论依然成立。

公式

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首先选出一个定义在 K 上面的椭圆曲线 E,以及一个正整数 n > 0 (如果 char(K) > 0, 则 n 必须与 char(K) 互质) 使得 K 包含n次单位根。 则对于 n-torsion 已知是order 为n的两个循环群笛卡儿积。韦伊配对产生一个n次单位根。

 

依据 Kummer 定理,任何   上的两个点  , 其中   .

韦伊配对可用以下方式实做。在椭圆曲线 E 基于 K 的代数闭包上的函数体中选择一个函数 F除子

 

假如 F 在每个 P + kQ 的点都是一个简单的零点,且在每个 kQ 的点都是一个简单的极点,如果这些点都是不同的话。则 F 可以被明确的定义能被乘上一个整数。如果 G 是一个 F 对于 Q 的平移的话。则 G 的结构会有一样的除子。所以函数 G/F 会是一个常数。

因此如果我们定义

 

我们将拥有一个非 1 的n次单位根 (因为做n次操作则必为1)。在此定义之下可以推出 w 是可交替且双线性的, [1]只要这个配对是位于n-torsion 之中。

韦伊配对配对无法直接扩展到所有的挠点 (只能限制在特定的 n-torsion 的点) 因为不同的 n 会有不同的配对。

参考资料

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  1. ^ Silverman, Joseph. The Arithmetic of Elliptic Curves. New York: Springer-Verlag. 1986. ISBN 0-387-96203-4.