除子

除子是代数几何中的一个重要概念。在黎曼曲面$X$上，它可以简单的定义为$X$上的点的（整系数）形式线性组合，$D=\sum _{}^{}n_{p}p$。更一般地说，对于代数闭体上的非奇异代数簇，它可以定义为余维度为一的子簇的（整系数）形式线性组合，也可以定义为层$K_{X}^{*}/O_{X}^{*}$的一个整体截面。在满足一定条件的（可以是奇异的）代数簇上，这两种定义分别推广成Weil除子和Cartier除子。

黎曼曲面上的除子

在黎曼曲面$X$上，它可以简单的定义为$X$上的点的（整系数）形式线性组合，$D=\sum _{}^{}n_{p}p$，其中$p$是$X$上的点。型如$p$的除子被称为素除子。一般的除子都是素除子的线性组合。$X$上的全部除子构成一个交换群，记作${\text{Div}}(X)$。

对于$X$上的非零亚纯函数$f$，我们可以定义$f$的除子

${\text{div}}(f)=\sum _{p}^{}v_{p}(f)p$，

其中$v_{p}(f)$是$f$在$p$点零点的阶（非零点的阶为零，极点的阶按负值计）。型如${\text{div}}f$的除子叫做主除子。主除子构成的子群记作${\text{Prin(X)}}$。除子类群定义作${\text{Cl}}(X)={\text{Div}}(X)/{\text{Prin(X)}}$。对于紧黎曼面，这是一个有限生成的交换群，它是紧黎曼面$X$的一个重要不变量。

从层论的观点看，除子是一个局部的概念，对于$X$上任意的除子$D=\sum _{}^{}n_{p}p$，和$X$的开集$U$，可以定义$D$在$U$上的限制$D|_{U}=\sum _{p\in U}^{}n_{p}p$。函子$U\mapsto {\text{Div}}(U)$是$X$上的层。

给定$X$上任何一个除子$D$，局部上$D$都可以被写作一个函数对应的主除子。精确地说，一定存在$X$的一组开覆盖{$U_{i}$}以及每个$U_{i}$上的函数$f_{i}$，使得$D|_{U_{i}}={\text{div}}(f_{i})$。一般说来，在$U_{i}$和$U_{j}$的交集上，$f_{i}$和$f_{j}$的限制未必相等，但易见在$U_{ij}$上，存在一个处处非零的全纯函数$h$，使得$f_{i}h=f_{j}$。另外，$f_{i}$的选取不是唯一的，因为我们总可以用一个处处非零的全纯函数$h$来修正它。反过来，任意一组这样的数据$\{(U_{i},f_{i})\}$，都给出了$X$上的一个除子。

以上论证表明，黎曼曲面上的任意一个除子$D$，都唯一地对应于层$K_{X}^{*}/O_{X}^{*}$的一个整体截面。这是Cartier对于除子的观点。

从Cartier的观点出发，不难构造除子$D$所对应的可逆层${\mathcal {O}}_{X}(D)$：取$X$的一组开覆盖{$U_{i}$}，以及每个$U_{i}$上的函数$f_{i}$，使得$D|_{U_{i}}={\text{div}}(f_{i})$。取$U_{i}$上的平凡层${\mathcal {O}}_{U_{i}}$，在交集$U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}$上，如前所述${\dfrac {f_{j}}{f_{i}}}$是$U_{ij}$上的一个可逆函数，从而它定义了$U_{ij}$上平凡层的一个自同构。把这一同构视作粘合映射${\mathcal {O}}_{U_{i}}|_{U_{ij}}\cong {\mathcal {O}}_{U_{j}}|_{U_{ij}}$，不难验证这一族粘合映射满足cocycle条件，从而他们给出了$X$上的一个可逆层。

反过来，对于黎曼曲面，每个可逆层都来自于一个除子。事实上，若${\mathcal {L}}$是可逆层，令$D$为任意一个亚纯截面的除子，则${\mathcal {L}}\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)$。

易见主除子对应的可逆层同构于平凡层。两个除子之和对应的可逆层是原来两个除子对应之可逆层的张量积。若两个除子之差为一主除子，则他们定义的线丛是同构的。

从线丛的观点看，若两个除子之差为一主除子，我们可以把它们视作等价。上面定义的映射$[D]\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)$给出了它与${\text{Pic}}(X)$的一个同构。这里${\text{Pic}}(X)$是可逆层的同构类在张量积下构成的交换群。

任意一个除子$D=\sum _{}^{}n_{p}p$，我们可以定义$D$的次数${\text{deg}}D=\sum _{}^{}n_{p}$。根据定义，这一定是一个有限和。对于紧黎曼面，主除子的次数总为零。由此可见，除子的次数只依赖于它在Picard群中的像。

Weil除子

若 X 是一不可约（irreducible），既约（reduced）的局部诺特概形（locally noetherian scheme）。其上一素韦伊除子（prime Weil divisor）是指一个余维数为一的不可约且既约的子概形。X 上的一个韦伊除子是素韦伊除子的有限形式和。

Cartier除子

假设 X 为一不可约且既约的诺特概形。则 X 上的非零有理函数的芽关于乘法构成了一个阿贝尔群层，记为 ${\mathcal {M}}_{X}^{\ast }$。 它是一个常数层，且包含所有非零正则函数的芽层 ${\mathcal {O}}_{X}^{\ast }$ 为子层。按定义，X 上的一个卡蒂亚除子（Cartier divisor）为商层 ${\mathcal {M}}_{X}^{\ast }/{\mathcal {O}}_{X}^{\ast }$ 的一个整体截面。