代数分式

代数分式是指分子及分母都是代数式的分数，像 ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ 及 ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$. 都是代数分式。

有理分式是指分子及分母都是多项式的分式，像${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ 为有理分式，但${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ 的分子为根式，不是多项式，因此不是有理分式。

术语

在代数分式 ${\tfrac {a}{b}}$中，被除数称为分子，除数称为分母，两者都是代数分式的项。

若代数分式的分子或分母中包括复数，则称为复数分式。

简分式是其分子或分母都不是分式的代数分式，若一个表示式不是以分式的形式表示，则称为整式，不过只要将分母设为1，即可以将整式表示为代数分式，带分式指整式和分式的代数和。

有理分式

主条目：有理函数

若代理分式的a和b都是多项式，此分式称为有理代数分式，或简称为有理分式。有理分式也称为有理表示式或有理函数。若有理分式 ${\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ 满足$\deg f(x)<\deg g(x)$，称为真分式，否则称为假分式，像${\tfrac {2x}{x^{2}-1}}$为真分式，而${\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}$ 和 ${\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}$ 是假分式。假分式可以表示为整式（可能是常数）及真分式的和，例如以上提到的假分式可以表示为

${\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},$

其中第二项为真有理分式，二个真分式的和也会是真分式，有时会将真分式的分母因式分解，再将真分式表示数个真因式，其分母分别为原分母的因式（或因式次方），这称为部分分式，例如以下等号右边的即为部分分式

${\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.$

因此等号右边的称为部分分式，例如真分式积分时会先进行部分分式分解，再进行积分，称为部分分式积分法。

无理分式

无理分式是指分式中有变数的幂式为小数，像以下的分式即为无理分式

${\frac {x^{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{\tfrac {1}{3}}-x^{\tfrac {1}{2}}}}.$

将无理分式变为有理分式的过程称为有理化，每个根式为单项的无理分式可以用以下的方式有理化：找到所有幂次分母的最小公倍数，再将变数用另一变数的幂次取代，使原来的根式都变为新变数的整数幂次，例如在上式中，幂次分母的最小公倍数为6，因此可以令 $x=z^{6}$ ，得到

${\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.$

参考资料

Brink, Raymond W. IV. Fractions. College Algebra. 1951.