克雷洛夫子空间

线性代数中，由n阶方阵A与n维向量b生成的r阶克雷洛夫子空间是b在A的前r次幂下（始于 $A^{0}=I$ ）的列空间张成的线性子空间，即^[1]^[2]

{\mathcal {K}}_{r}(A,b)=\operatorname {span} \,\{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1}b\}.

背景

这一概念得名于苏联应用数学家、海军工程师Alexei Krylov，他在1931年发表了一篇关于这一概念的论文。^[3]

性质

${\mathcal {K}}_{r}(A,b),A\,{\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r+1}(A,b)$ .
令 $r_{0}=\operatorname {dim} \operatorname {span} \,\{b,Ab,A^{2}b,\ldots \}$ ，则 $\{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1}b\}$ 是线性无关的，除非 $\forall r>r_{0},\ {\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r_{0}}(A,b)$ ， $\operatorname {dim} {\mathcal {K}}_{r_{0}}(A,b)=r_{0}$ 。因此 $r_{0}$ 是克雷洛夫子空间 ${\mathcal {K}}_{r}(A,b)$ 的最大维度。
最大维度满足 $r_{0}\leq 1+\operatorname {rank} A,\ r_{0}\leq n$ .
考虑 $\dim \operatorname {span} \,\{I,A,A^{2},\ldots \}=\deg \,p(A)$ ，其中 $p(A)$ 是A的极小多项式。我们有 $r_{0}\leq \deg \,p(A)$ 。此外 $\forall A,\ \exists b$ ，对它来说此约束是紧密的，即 $r_{0}=\deg \,p(A)$ 。
${\mathcal {K}}_{r}(A,b)$ 是由b产生的扭化 $k[x]$ -模 $(k^{n})^{A}$ 的循环子模，其中 $k^{n}$ 是k上的线性空间。
$k^{n}$ 可分解为克雷洛夫子空间的直和。^{[需要解释]}

使用

克雷洛夫子空间用于寻找高维线性代数问题的近似解。^[2]控制论的很多线性动态系统检测，特别是与可控制性和可观测性相关的测试，都要检查克雷洛夫子空间的秩。测试等同于寻找与系统/输出映射相关的格拉姆行列式的张成空间，因此不可控与不可观测子空间只是克雷洛夫子空间的正交补。^[4] 阿诺德迭代法等现代迭代法可用于寻找大型稀疏矩阵的特征值，或求解大型线性方程组。这些方法尽量避免矩阵间的运算，而将向量与矩阵相乘。从向量b开始，可以计算 $Ab$ ，然后将向量与A相乘，求得 $A^{2}b$ 等等。所有这样的算法都称作克雷洛夫子空间方法，是目前数值线性代数中最成功的方法之一。这些方法可用于能计算矩阵-向量乘法而无A的显式表示的情形，从而产生了无矩阵法。

问题

由于幂迭代的特性，向量很快就会变得近乎线性相关，因此依赖于克雷洛夫子空间的方法经常要正交化，例如厄米矩阵的兰佐斯算法或更一般矩阵的阿诺德迭代法。

现有方法

最著名的克雷洛夫法有共轭梯度法、诱导降维法、广义最小残量方法、稳定双共轭梯度法、准最小残差法、无转置准最小残差法、最小残差法等等。

另见

迭代法

参考文献

^ Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. Numerical optimization. Springer series in operation research and financial engineering 2nd. New York, NY: Springer. 2006: 108. ISBN 978-0-387-30303-1.
^ ^2.0 ^2.1 Simoncini, Valeria, Krylov Subspaces, Nicholas J. Higham; et al (编), The Princeton Companion to Applied Mathematics, Princeton University Press: 113–114, 2015
^ Krylov, A. N. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем [On the Numerical Solution of Equation by Which are Determined in Technical Problems the Frequencies of Small Vibrations of Material Systems]. Izvestiia Akademii Nauk SSSR. 1931, 7 (4): 491–539 （俄语）.
^ Hespanha, Joao, Linear Systems Theory, Princeton University Press, 2017

克雷洛夫子空间

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现有方法

另见

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