反伽玛函数(反Γ函数,Inverse gamma function)是伽玛函数(Γ函数)的反函数。 换句话说,如果反Γ函数以的形式表示,则其满足。 例如24的反伽玛函数值为5,,因为5代到伽玛函数为24[1]。 一般而言,反伽玛函数是指定义域实数区间上且图形在实数区间上的主分支,其中[2]是伽玛函数在正实轴上的最小值、[3]是能使最小的[4]。 反伽玛函数可以透过伽玛函数和阶乘的关系来定义反阶乘,即阶乘的反函数。

反伽玛函数函数图形
反伽玛函数复数域色相环复变函数图形

限制在区间的反伽玛函数称为伽玛函数的主逆函数(principal inverse function),可以表示为。 在不同分支上的伽玛函数也可以定义出反伽玛函数,在第n个分支上的反伽玛函数可以表示为

直接将伽玛函数取反函数将成为多值函数,因此通常会将反伽玛函数限制在特定区间上的反函数

定义

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由于反伽玛函数是伽玛函数的反函数,因此最简单的情况下可以表示为:

 

更进一步的,反伽玛函数可以用如下积分表达式来定义:[5]

 

其中 、a和b为满足 实数 博雷尔测度

近似值

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不同分支的反伽玛函数

反伽玛函数的分支可以透过先计算 在分支点 附近的泰勒级数,接着截断级数并求其反函数来得到更好的近似值。 例如,可以写出关于反伽玛函数的二次近似[6]

 

反伽玛函数也有如下的渐近分析形式:[7]

 

其中 朗伯W函数。这个公式是利用史特灵公式求逆得到的,因此也可以展开为渐近级数。

级数展开

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要计算反伽玛函数的级数展开可以先计算倒数伽玛函数 在负整数极点附近的级数展开,然后再求级数的逆。

 可以得到第 个分支的反伽玛函数 ,其中 [8]

 

其中, 多伽玛函数

反阶乘

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反阶乘的复变函数图形

反阶乘是阶乘反函数,有时记为Factorial-1或ArcFactorial[9],其函数值可以透过反伽玛函数或解伽玛函数方程来得到[10]。 例如120的反阶乘为5,因为 。 目前反阶乘的数学表达方式学界尚无共识。[注 1]

部分的反阶乘
   的反阶乘
-1 2.39393017729

+ 2.66169895945 

0 不存在
  0.28307261544

+ 1.09787390370 

   
1 1
2 2
3 2.4058699863
4 2.6640327972
5 2.8523554580
6 3
24 4

反伽玛函数与反阶乘的关系为:

 

这是由于:

 

反阶乘可以定义为:

 

条件是 在复平面上是全纯的,并且沿着实轴的一部分进行切割,从正参数阶乘的最小值开始,延伸到 

在分支点 附近的反阶乘可以展开为;

 

由于阶乘与伽玛函数之间的关联,反阶乘也可以透过反伽玛函数近似公式来估计:

 

因此,反阶乘也可以写成如下的渐近分析形式:[7]

 

其中 朗伯W函数

参见

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注释

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  1. ^ 数篇相关论文用了不同的表达方式,尚未找到一个统一的表达方式。 另有网友在reddit上讨论反阶乘应该用什么符号表达 What's best notation for arcfactorial? x¡ OR x? OR x!^(-1). reddit. [2023-08-21]. (原始内容存档于2023-08-21). 

参考文献

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  1. ^ Borwein, Jonathan M.; Corless, Robert M. Gamma and Factorial in the Monthly. The American Mathematical Monthly. 2017, 125 (5): 400–424. JSTOR 48663320. S2CID 119324101. arXiv:1703.05349 . doi:10.1080/00029890.2018.1420983. 
  2. ^  A030171
  3. ^  A030169
  4. ^ Uchiyama, Mitsuru. The principal inverse of the gamma function. Proceedings of the American Mathematical Society. April 2012, 140 (4): 1347 [20 March 2023]. JSTOR 41505586. S2CID 85549521. doi:10.1090/S0002-9939-2011-11023-2 . (原始内容存档于2023-03-20). 
  5. ^ Pedersen, Henrik. "Inverses of gamma functions". Constructive Approximation. 9 September 2013, 7 (2): 251–267 [2023-08-21]. S2CID 253898042. arXiv:1309.2167 . doi:10.1007/s00365-014-9239-1. (原始内容存档于2023-05-24). 
  6. ^ Corless, Robert M.; Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David. Properties and Computation of the Functional Inverse of Gamma. 2017 19th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing (SYNASC). 2017: 65. ISBN 978-1-5386-2626-9. S2CID 53287687. doi:10.1109/SYNASC.2017.00020. 
  7. ^ 7.0 7.1 Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David. "Properties and Computation of the inverse of the Gamma Function" (学位论文): 28. 2018 [2023-08-23]. (原始内容存档于2022-05-09). 
  8. ^ Couto, Ana Carolina Camargos; Jeffrey, David; Corless, Robert. The Inverse Gamma Function and its Numerical Evaluation. Maple Conference Proceedings. November 2020. Section 8 [2023-08-23]. (原始内容存档于2023-05-16). 
  9. ^ Kouznetsov, Dmitrii and Trappmann, Henryk. Superfunctions and sqrt of factorial. Moscow University Physics Bulletin. 2010-03, 65: 6–12. doi:10.3103/S0027134910010029. 
  10. ^ InverseFactorial. resources.wolframcloud.com. [2023-08-21]. (原始内容存档于2023-08-21).