反伽瑪函數(反Γ函數,Inverse gamma function)是伽瑪函數(Γ函數)的反函數。 換句話說,如果反Γ函數以的形式表示,則其滿足。 例如24的反伽瑪函數值為5,,因為5代到伽瑪函數為24[1]。 一般而言,反伽瑪函數是指定義域實數區間上且圖形在實數區間上的主分支,其中[2]是伽瑪函數在正實軸上的最小值、[3]是能使最小的[4]。 反伽瑪函數可以透過伽瑪函數和階乘的關係來定義反階乘,即階乘的反函數。

反伽瑪函數函數圖形
反伽瑪函數複數域色相環複變函數圖形

限制在區間的反伽瑪函數稱為伽瑪函數的主逆函數(principal inverse function),可以表示為。 在不同分支上的伽瑪函數也可以定義出反伽瑪函數,在第n個分支上的反伽瑪函數可以表示為

直接將伽瑪函數取反函數將成為多值函數,因此通常會將反伽瑪函數限制在特定區間上的反函數

定義

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由於反伽瑪函數是伽瑪函數的反函數,因此最簡單的情況下可以表示為:

 

更進一步的,反伽瑪函數可以用如下積分表達式來定義:[5]

 

其中 、a和b為滿足 實數 博雷尔测度

近似值

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不同分支的反伽瑪函數

反伽瑪函數的分支可以透過先計算 在分支點 附近的泰勒級數,接著截斷級數並求其反函數來得到更好的近似值。 例如,可以寫出關於反伽瑪函數的二次近似[6]

 

反伽瑪函數也有如下的渐近分析形式:[7]

 

其中 朗伯W函数。這個公式是利用史特靈公式求逆得到的,因此也可以展開為漸近級數。

級數展開

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要計算反伽瑪函數的級數展開可以先計算倒數伽瑪函數 在負整數極點附近的級數展開,然後再求級數的逆。

 可以得到第 個分支的反伽瑪函數 ,其中 [8]

 

其中, 多伽玛函数

反階乘

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反階乘的複變函數圖形

反階乘是階乘反函數,有時記為Factorial-1或ArcFactorial[9],其函數值可以透過反伽瑪函數或解伽瑪函數方程來得到[10]。 例如120的反階乘為5,因為 。 目前反階乘的數學表達方式學界尚無共識。[註 1]

部分的反階乘
   的反階乘
-1 2.39393017729

+ 2.66169895945 

0 不存在
  0.28307261544

+ 1.09787390370 

   
1 1
2 2
3 2.4058699863
4 2.6640327972
5 2.8523554580
6 3
24 4

反伽瑪函數與反階乘的關係為:

 

這是由於:

 

反階乘可以定義為:

 

條件是 在復平面上是全純的,並且沿著實軸的一部分進行切割,從正參數階乘的最小值開始,延伸到 

在分支點 附近的反階乘可以展開為;

 

由於階乘與伽瑪函數之間的關聯,反階乘也可以透過反伽瑪函數近似公式來估計:

 

因此,反階乘也可以寫成如下的渐近分析形式:[7]

 

其中 朗伯W函数

參見

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註釋

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  1. ^ 數篇相關論文用了不同的表達方式,尚未找到一個統一的表達方式。 另有網友在reddit上討論反階乘應該用甚麼符號表達 What's best notation for arcfactorial? x¡ OR x? OR x!^(-1). reddit. [2023-08-21]. (原始内容存档于2023-08-21). 

參考文獻

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  1. ^ Borwein, Jonathan M.; Corless, Robert M. Gamma and Factorial in the Monthly. The American Mathematical Monthly. 2017, 125 (5): 400–424. JSTOR 48663320. S2CID 119324101. arXiv:1703.05349 . doi:10.1080/00029890.2018.1420983. 
  2. ^  A030171
  3. ^  A030169
  4. ^ Uchiyama, Mitsuru. The principal inverse of the gamma function. Proceedings of the American Mathematical Society. April 2012, 140 (4): 1347 [20 March 2023]. JSTOR 41505586. S2CID 85549521. doi:10.1090/S0002-9939-2011-11023-2 . (原始内容存档于2023-03-20). 
  5. ^ Pedersen, Henrik. "Inverses of gamma functions". Constructive Approximation. 9 September 2013, 7 (2): 251–267 [2023-08-21]. S2CID 253898042. arXiv:1309.2167 . doi:10.1007/s00365-014-9239-1. (原始内容存档于2023-05-24). 
  6. ^ Corless, Robert M.; Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David. Properties and Computation of the Functional Inverse of Gamma. 2017 19th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing (SYNASC). 2017: 65. ISBN 978-1-5386-2626-9. S2CID 53287687. doi:10.1109/SYNASC.2017.00020. 
  7. ^ 7.0 7.1 Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David. "Properties and Computation of the inverse of the Gamma Function" (学位论文): 28. 2018 [2023-08-23]. (原始内容存档于2022-05-09). 
  8. ^ Couto, Ana Carolina Camargos; Jeffrey, David; Corless, Robert. The Inverse Gamma Function and its Numerical Evaluation. Maple Conference Proceedings. November 2020. Section 8 [2023-08-23]. (原始内容存档于2023-05-16). 
  9. ^ Kouznetsov, Dmitrii and Trappmann, Henryk. Superfunctions and sqrt of factorial. Moscow University Physics Bulletin. 2010-03, 65: 6–12. doi:10.3103/S0027134910010029. 
  10. ^ InverseFactorial. resources.wolframcloud.com. [2023-08-21]. (原始内容存档于2023-08-21).