圆排列

数学中，特别是群论中，圆排列（英语：Cyclic permutation），又称圆周排列、环状排列、循环排列，直观地，是指从$n$个不同元素中选出$r$个元素排列成一个圆的形状。

定义

圆排列并没有统一的精确定义。有些作者对圆排列的定义是仅有一个轮换的排列。其他作者则使用更宽松的定义，允许不动点的存在。

例如排列

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\4&2&7&6&5&8&1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&4&6&8&3&7&2&5\\4&6&8&3&7&1&2&5\end{pmatrix}}$

有一个6-轮换和两个1-轮换（不动点）。对上述较为宽松的定义，这个排列是圆排列，而对较严格的定义则不算。

计算公式

与一般的线性排列不同，圆排列由于首位元素相邻因此需要考虑由循环移位带来的相同排列，不考虑循环移位的排列数为P(n,r)，圆周上r个元素的循环移位数为r，故圆排列数为

$Q(n,r)={\frac {P(n,r)}{r}}={\frac {n!}{r\cdot (n-r)!}}$

特别地，n个元素的圆排列个数是(n-1)!，该结论也可以由波利亚计数定理得到。